Основное тождество

Основное тождество

\(\sin^2A+\cos^2A=\frac{BC^2+AC^2}{AB^2}\). По теореме Пифагора числитель равен \(AB^2\), значит, сумма равна 1.

Основное тригонометрическое тождество — это теорема Пифагора, переписанная через отношения. Проверка на 3, 4, 5 сходится.

Тангенс через синус и косинус

Разделим синус на косинус: гипотенузы сокращаются, остаётся отношение катетов. Поэтому \(\operatorname{tg}A=\frac{\sin A}{\cos A}\).

\(\frac35:\frac45=\frac34\) — совпало с определением.

По синусу найти косинус

Из тождества \(\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}\) — со знаком плюс, потому что угол острый.

\(\cos A=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}\), \(\operatorname{tg}A=\frac{5}{12}\). Узнаёте тройку 5, 12, 13? Можно было просто нарисовать треугольник.

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Главное

• \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
• \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
• По синусу находят косинус и наоборот.