1 радиан — центральный угол, дуга которого равна радиусу \(1\ \text{рад}\approx57{,}3^\circ\)
Кроме градусов, углы измеряют в радианах. Угол в один радиан — такой центральный
угол, у которого длина дуги равна радиусу.
Вся окружность длиной \(2\pi R\) вмещает \(2\pi\) таких дуг, значит
\(360^\circ=2\pi\) рад, а \(180^\circ=\pi\) рад.
Показать классу
Зелёная дуга по длине равна зелёному радиусу — такой центральный угол и называют
одним радианом. Он чуть меньше \(60^\circ\): \(1\ \text{рад}\approx57{,}3^\circ\).
Раз \(180^\circ=\pi\), умножаем градусы на \(\frac{\pi}{180}\) и сокращаем дробь.
\(90\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}\), \(60^\circ=\frac{\pi}{3}\),
\(30^\circ=\frac{\pi}{6}\). Радианы обычно записывают с \(\pi\), без знака «рад».
Что спросить у класса
Сколько радиан в 120°?
Как записать 30° в радианах?
2 из 10
Радианы в градусы
вместо \(\pi\) подставляем \(180^\circ\) \(\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2\cdot180^\circ}{3}=120^\circ\) \(\dfrac{\pi}{4}=45^\circ\)
Самый быстрый способ: заменить \(\pi\) на \(180^\circ\) и посчитать.
\(\frac{2\pi}{3}\) — это \(\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\). Если \(\pi\) в записи нет,
как у «2 рад», умножаем на \(\frac{180^\circ}{\pi}\): \(2\ \text{рад}\approx114{,}6^\circ\).
Что спросить у класса
Сколько градусов в 5π/6?
Почему «π рад» — это 180°, а не 3,14°?
3 из 10
Длина дуги через радианы
\(l=R\alpha\) (\(\alpha\) в радианах) \(R=3,\ \alpha=2\): \(l=6\) \(R=5,\ \alpha=\dfrac{\pi}{5}\): \(l=\pi\)
В радианах формула длины дуги самая короткая: радиус умножить на угол.
Именно ради этой простоты радианы и придумали.
Проверка по определению: при \(\alpha=1\) получаем \(l=R\) — дуга равна радиусу.
колесо \(R=35\) см повернулось на \(72^\circ\) \(l=\dfrac{\pi\cdot35\cdot72}{180}=14\pi\approx43{,}96\) см
Какой путь прошла точка обода колеса радиуса 35 см при повороте на \(72^\circ\)?
Путь точки — дуга окружности. \(72^\circ\) — пятая часть оборота, длина окружности
\(70\pi\), дуга \(14\pi\approx43{,}96\) см.
Что спросить у класса
Какую часть оборота составляет 72°?
Какой путь пройдёт точка за полный оборот?
6 из 10
Самостоятельная работа
1) длина дуги: \(R=12\), \(30^\circ\) 2) длина дуги: \(R=10\), \(90^\circ\) 3) \(l=6\pi\), \(R=9\) — угол? 4) \(150^\circ\) в радианы 5) \(\dfrac{3\pi}{4}\) в градусы 6) \(R=4\), угол 2,5 радиана — длина дуги?
Задания по нарастающей: длина дуги, обратная задача, переводы, радианная формула.
Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.
Что спросить у класса
Какой формулой удобнее считать шестое?
Как в третьем обойтись без формулы?
7 из 10
Частые ошибки
\(l=\pi R\alpha\) без деления на \(180^\circ\) ✗ \(l=R\alpha\) с градусами ✗ \(\pi\ \text{рад}=3{,}14^\circ\) ✗
Главная ошибка — забыть деление на \(180^\circ\) и получить дугу длиннее всей
окружности. Проверка: дуга не может быть длиннее \(2\pi R\).
Ещё две: подставлять градусы в радианную формулу \(l=R\alpha\) и путать
«\(\pi\) радиан» с «\(\pi\) градусов».
Что спросить у класса
Как проверить, что длина дуги найдена разумно?
В каких единицах угол в формуле l = Rα?
8 из 10
Проверьте себя
Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.
Показать классу
9 из 10
Главное
\(180^\circ=\pi\) рад.
Длина дуги в радианах: \(l=R\alpha\).
1 рад \(\approx57{,}3^\circ\).
10 из 10
После урока
Учитель? Выдайте эту тему
классу домашним заданием
Задание собирается из тех же
генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа,
списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации,
ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся.
Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.