Шаг 1 из 10

Что такое радиан

💡Радиан, перевод мер и длина дуги в радианах.

1 радиан — центральный угол, дуга которого равна радиусу
\(1\ \text{рад}\approx57{,}3^\circ\)

Кроме градусов, углы измеряют в радианах. Угол в один радиан — такой центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу.

Вся окружность длиной \(2\pi R\) вмещает \(2\pi\) таких дуг, значит \(360^\circ=2\pi\) рад, а \(180^\circ=\pi\) рад.

📐 Наглядный пример

Зелёная дуга по длине равна зелёному радиусу — такой центральный угол и называют одним радианом. Он чуть меньше \(60^\circ\): \(1\ \text{рад}\approx57{,}3^\circ\).

Шаг 1 из 10

Шаг 2 из 10

Градусы в радианы

\(\alpha_{\text{рад}}=\alpha^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180^\circ}\)
\(90^\circ=\dfrac{\pi}{2}\) \(60^\circ=\dfrac{\pi}{3}\) \(45^\circ=\dfrac{\pi}{4}\)

Раз \(180^\circ=\pi\), умножаем градусы на \(\frac{\pi}{180}\) и сокращаем дробь.

\(90\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}\), \(60^\circ=\frac{\pi}{3}\), \(30^\circ=\frac{\pi}{6}\). Радианы обычно записывают с \(\pi\), без знака «рад».

Шаг 2 из 10

Шаг 3 из 10

Радианы в градусы

вместо \(\pi\) подставляем \(180^\circ\)
\(\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2\cdot180^\circ}{3}=120^\circ\)
\(\dfrac{\pi}{4}=45^\circ\)

Самый быстрый способ: заменить \(\pi\) на \(180^\circ\) и посчитать.

\(\frac{2\pi}{3}\) — это \(\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\). Если \(\pi\) в записи нет, как у «2 рад», умножаем на \(\frac{180^\circ}{\pi}\): \(2\ \text{рад}\approx114{,}6^\circ\).

Шаг 3 из 10

Шаг 4 из 10

Длина дуги через радианы

\(l=R\alpha\) (\(\alpha\) в радианах)
\(R=3,\ \alpha=2\): \(l=6\)
\(R=5,\ \alpha=\dfrac{\pi}{5}\): \(l=\pi\)

В радианах формула длины дуги самая короткая: радиус умножить на угол. Именно ради этой простоты радианы и придумали.

Проверка по определению: при \(\alpha=1\) получаем \(l=R\) — дуга равна радиусу.

Шаг 4 из 10

Шаг 5 из 10

Таблица главных углов

\(0^\circ\ \ 30^\circ\ \ 45^\circ\ \ 60^\circ\ \ 90^\circ\ \ 180^\circ\ \ 360^\circ\)
\(0\ \ \ \dfrac{\pi}{6}\ \ \ \dfrac{\pi}{4}\ \ \ \dfrac{\pi}{3}\ \ \ \dfrac{\pi}{2}\ \ \ \ \pi\ \ \ \ 2\pi\)

Эти соответствия встречаются постоянно — в тригонометрии и старших классах. Их полезно помнить без вычислений.

Опора одна: \(180^\circ=\pi\). Остальное — половины, трети, четверти и шестые доли.

Шаг 5 из 10

Шаг 6 из 10

Задача: колесо

колесо \(R=35\) см повернулось на \(72^\circ\)
\(l=\dfrac{\pi\cdot35\cdot72}{180}=14\pi\approx43{,}96\) см

Какой путь прошла точка обода колеса радиуса 35 см при повороте на \(72^\circ\)?

Путь точки — дуга окружности. \(72^\circ\) — пятая часть оборота, длина окружности \(70\pi\), дуга \(14\pi\approx43{,}96\) см.

Шаг 6 из 10

Шаг 7 из 10

Самостоятельная работа

1) длина дуги: \(R=12\), \(30^\circ\)    2) длина дуги: \(R=10\), \(90^\circ\)
3) \(l=6\pi\), \(R=9\) — угол?    4) \(150^\circ\) в радианы
5) \(\dfrac{3\pi}{4}\) в градусы    6) \(R=4\), угол 2,5 радиана — длина дуги?

Задания по нарастающей: длина дуги, обратная задача, переводы, радианная формула.

Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.

Шаг 7 из 10

Шаг 8 из 10

Частые ошибки

\(l=\pi R\alpha\) без деления на \(180^\circ\) ✗
\(l=R\alpha\) с градусами ✗
\(\pi\ \text{рад}=3{,}14^\circ\) ✗

Главная ошибка — забыть деление на \(180^\circ\) и получить дугу длиннее всей окружности. Проверка: дуга не может быть длиннее \(2\pi R\).

Ещё две: подставлять градусы в радианную формулу \(l=R\alpha\) и путать «\(\pi\) радиан» с «\(\pi\) градусов».

Шаг 8 из 10

Шаг 9 из 10

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

📐 Проверьте себя