Уменьшение, ставка и задача

Уменьшение на процент

Если величина каждый год уменьшается на одинаковый процент, умножаем на \(1-\frac{p}{100}\).

Машина за 800 000 теряет 10% цены в год: через год 720 000, через два — 648 000. Потеря за два года — 19%, а не 20%.

Повысили и понизили

Повышение и снижение на одинаковый процент не возвращают цену: второй процент считают от уже изменённой величины.

Цена 1000 → 1200 → \(1200\cdot0{,}8=960\). Итог — на 4% меньше исходной. Проценты не складываются, они перемножаются как множители.

Найти процентную ставку

Задача в обратную сторону: известны начало и конец, нужен процент. Делим итог на начальную сумму и извлекаем корень степени, равной числу лет.

\(1{,}21=1{,}1^2\), значит \(q=1{,}1\) — 10% годовых. Отрицательный корень смысла не имеет.

Задача как в ОГЭ

В практических задачах ОГЭ «с капитализацией» означает сложные проценты: проценты прибавляются к вкладу.

\(1{,}08^2=1{,}1664\), итог 58 320 рублей, доход 8320. Проверка по годам: 54 000, затем \(54\,000\cdot1{,}08=58\,320\).

Самостоятельная работа

Задания по нарастающей: множитель, сложные и простые, снижение, туда-обратно, обратная задача.

Ответы к самостоятельной работе видит учитель, вошедший в кабинет.

Частые ошибки

Главная ошибка — складывать проценты за разные годы. При сложных процентах их перемножают как множители: \(1{,}1^2=1{,}21\), то есть +21%.

Ещё две: считать, что повышение и снижение на одинаковый процент гасят друг друга, и в сложных процентах брать процент от исходной суммы.

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Главное

• Уменьшение на \(p\,\%\) — умножение на \(1-\frac{p}{100}\).
• Повышение и понижение на одинаковый процент не возвращают цену.
• Проценты берут от текущей суммы.