Загрузка заданий...
Вариант 103 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | спальня | кухня |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 7, кладовая — 5, спальня — 2, кухня — 8.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.
Следовательно, ответ: 7528.
Ответ: 7528
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 20 см на 70 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?
Решение
По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.
Площадь одной клетки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,04 = 6,16 кв. м.
Площадь одной доски: 0,2 · 0,7 = 0,14 кв. м.
Нужно элементов: 6,16 / 0,14 = 44.
В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 9 упаковок.
Ответ: 9.
Ответ: 9
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.
Значит, площадь равна 36 · 0,04 = 1,44 кв. м.
Ответ: 1,44.
Ответ: 1,44
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?
Решение
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.
Ответ: 500.
Ответ: 500
5
Задание 5
1 балл
| Модель | Вместимость барабана (кг) | Тип загрузки | Стоимость (руб.) | Стоимость подключения (руб.) | Стоимость доставки (% от стоимости машины) | Габариты (высота × ширина × глубина, см) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| А | 7 | верт. | 28 000 | 1 700 | бесплатно | 85 × 60 × 45 |
| Б | 5 | фронт. | 24 000 | 4 500 | 10 | 85 × 60 × 40 |
| В | 5 | фронт. | 25 000 | 5 000 | 10 | 85 × 60 × 40 |
| Г | 6,5 | фронт. | 24 000 | 4 500 | 10 | 85 × 60 × 44 |
| Д | 6 | фронт. | 28 000 | 1 700 | бесплатно | 85 × 60 × 45 |
| Е | 6 | верт. | 27 600 | 2 300 | бесплатно | 89 × 60 × 40 |
| Ж | 6 | верт. | 27 585 | 1 900 | 10 | 89 × 60 × 40 |
| З | 6 | фронт. | 20 000 | 6 300 | 15 | 85 × 60 × 42 |
| И | 5 | фронт. | 27 000 | 1 800 | бесплатно | 85 × 60 × 40 |
| К | 5 | верт. | 27 000 | 1 800 | бесплатно | 85 × 60 × 40 |
В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с фронтальной загрузкой, по глубине не превосходящую 42 см.
Решение
Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.
Модель Б: 24 000 + 4 500 + доставка: 10% от 24 000 = 2 400 руб. = 30 900 руб.
Модель В: 25 000 + 5 000 + доставка: 10% от 25 000 = 2 500 руб. = 32 500 руб.
Модель З: 20 000 + 6 300 + доставка: 15% от 20 000 = 3 000 руб. = 29 300 руб.
Модель И: 27 000 + 1 800 + доставка бесплатная = 28 800 руб.
Наименьшая стоимость у модели И: 28 800 руб.
Ответ: 28 800.
Ответ: 28800
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{9}{4} + \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{9}{4} + \frac{1}{2}\).
Последовательно выполняем действия (сложение):
Шаг 1: \((\frac{9}{4}) + \frac{1}{2} = \frac{11}{4}\).
Получили дробь \(\frac{11}{4}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,75\).
Ответ: \(2,75\).
Ответ: 2,75
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число -0,417?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число -0,417 по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5^{-2} \cdot (5^3)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 5^(-2) · (5^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^3)^2 = 5^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-2 · 5^6 = 5^4.
Получаем 5^4 = 625.
Ответ: 625.
Ответ: 625
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 14x + 49 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 14x + 49 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -14, c = 49.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -14² - 4·1·49 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = 14 / 2 = 7
Ответ: 7
Ответ: 7
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 40 билетов, Егор не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 32 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{32}{40}\) = 0,8.
Ответ: 0,8.
Ответ: 0,8
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) y = 2x + 4
2) y = -0,5x - 4
3) y = 3x - 3
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 321.
Ответ: 321
12
Расчёты по формулам
1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 6 с-1, а центростремительное ускорение равно 50,4 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 50,4/(6²) = 1,4.
Ответ: 1,4.
Ответ: 1,4
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 4)(x - 2) < 0
Решение
Нули выражения: x = -4 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 2) < 0 получаем решение (-4;2). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 14 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунд?
Решение
Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 14, d = 10, n = 4.
Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·14 + 3·10)/2 = 116.
Ответ: 116.
Ответ: 116
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 92, сторона BC равна 98, сторона AC равна 104. Найдите MN.
Решение
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией.\nСредняя линия параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.\nПоэтому MN = AC : 2 = 104 : 2 = 52.\nОтвет: 52.
Ответ: 52
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 6, BC = 8, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.\nПо теореме Пифагора AB = 10.\nСледовательно, R = AB / 2 = 10 / 2 = 5.\nОтвет: 5.
Ответ: 5
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Решение
Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.\nsin 150° = \(\frac{1}{2}\).\nh = 4 · \(\frac{1}{2}\) = 2.\nОтвет: 2.
Ответ: 2
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 3 и 1.
Искомое отношение площадей равно (3 / 1)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(47a-57b+21\), если \(\dfrac{7a-6b+2}{6a-7b+2}=9\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(47a-57b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(7a-6b+2 = 9(6a-7b+2)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(7a-6b+2 = 54a-63b+18\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 47a-57b+16\), откуда \(47a-57b = -16\).
Шаг 4. Вычисляем: \(47a-57b+21 = -16+21 = 5\).
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 6 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.
Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 5) км/ч.
Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 3 км.
Длина круга = x + 3 км.
Шаг 3. Второй пробежал круг 6 мин назад, то есть за (1 − \(\frac{6}{60}\)) = 0,9 ч.
Длина круга = (x + 5) · 0,9 км.
Шаг 4. Приравниваем: x + 3 = (x + 5) · 0,9.
Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 15 км/ч.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=\dfrac{7/2|x|-1}{|x|-7/2x^2}\]
Определите, при каких значениях k прямая \(y=kx\) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть |x| на промежутках x > 0 и x < 0 и найти недостижимые наклоны.
Шаг 1. При x > 0: |x| = x, функция y = (\(\frac{7}{2}\)x−1)/(x−\(\frac{7}{2}\)x²) = (\(\frac{7}{2}\)x−1)/(x(1−\(\frac{7}{2}\)x)).
При x → 0⁺ и x → 1/7/2 выявляем асимптотическое поведение; прямая y = kx не достигает k = ±\(\frac{49}{4}\).
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, аналогично получаем, что k = 0 также недостижимо.
Шаг 3. Итого три значения k, при которых прямая y = kx не имеет общих точек с графиком: −\(\frac{49}{4}\), 0, \(\frac{49}{4}\).
Ответ: -\(\frac{49}{4}\); 0; \(\frac{49}{4}\).
Правильный ответ: -49/4; 0; 49/4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 12, AC = 13.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
12² + r² = (13 − r)².
144 + r² = 169 − 26r + r².
26r = 169 − 144 = 25.
r = \(\frac{25}{26}\) = 0.961538.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{25}{13}\) = 1,9231.
Ответ: 1,9231.
Правильный ответ: 1,9231
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников A₁CB₁ и ACB.
Шаг 1. Угол C — общий (∠A₁CB₁ = ∠ACB).
Шаг 2. AA₁ ⊥ BC ⟹ в △AA₁C: ∠CAA₁ = 90° − ∠C.
BB₁ ⊥ AC ⟹ в △BB₁C: ∠CBB₁ = 90° − ∠C.
Значит ∠CA₁B₁ = ∠CB₁A₁ = 90° − ∠C = ∠CAB, т.е. ∠CA₁B₁ = ∠CAB.
Шаг 3. По двум равным углам △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 7° и 83°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 4. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 7° + 83° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 6 и 4.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 6 и (b-a)/2 = 4 (или наоборот).
a+b = 12, b-a = 8.
b = 10, a = 2.
Ответ: 2; 10.
Правильный ответ: 2; 10
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: