Загрузка заданий...
Вариант 109 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,2 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | спальня | кухня |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 3, кладовая — 1, спальня — 5, кухня — 4.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.
Следовательно, ответ: 3154.
Ответ: 3154
2
Задание 2
1 балл
Плитка для пола размером 20 см на 20 см продаётся в упаковках по 7 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?
Решение
По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.
Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,64 = 98,56 кв. м.
Площадь одной плитки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.
Нужно элементов: 98,56 / 0,04 = 2464.
В одной упаковке 7 штук, значит понадобится 352 упаковки.
Ответ: 352.
Ответ: 352
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.
Значит, площадь равна 36 · 0,04 = 1,44 кв. м.
Ответ: 1,44.
Ответ: 1,44
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?
Решение
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.
Ответ: 500.
Ответ: 500
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «600» | 650 руб. за 600 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб |
| План «900» | 820 руб. за 900 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб |
| План «Безлимитный» | 930 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 700 Мб?
Решение
Считаем стоимость интернета при трафике 700 Мб:
План «600»: 650 + 100 · 2 = 850 руб.
План «900»: 820 руб.
План «Безлимитный»: 930 руб.
Самым дешёвым оказывается План «900»: 820 руб.
Ответ: 820.
Ответ: 820
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,15 : \frac{3}{25} - 0,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,15 : \frac{3}{25} - 0,5\).
Последовательно выполняем действия (деление, вычитание):
Шаг 1: \((0,15) : \frac{3}{25} = 1,25\).
Шаг 2: \((1,25) - 0,5 = 0,75\).
Получили результат \(0,75\).
Ответ: \(0,75\).
Ответ: 0,75
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от \(\sqrt{6}\) до \(\frac{23}{5}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа \(\sqrt{6}\) и \(\frac{23}{5}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (3,32) лежит между этими числами.
Ответ: 4
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{44} + \sqrt{275})\sqrt{11}$$
Решение
Вычислим выражение: (√44 + √275)·√11.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √44 = 2√11, √275 = 5√11.
Тогда получаем (2√11 + 5√11)·√11 = 7√11·√11.
Так как √11·√11 = 11, имеем 7·11 = 77.
Ответ: 77.
Ответ: 77
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 7x + 19 = 26
Решение
Решим уравнение: 7x + 19 = 26
Перенесём 19 в правую часть:
7x = 26 - 19
7x = 7
Разделим обе части на 7:
x = 7 / 7
x = 1
Ответ: 1
Ответ: 1
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 25 чашек: 14 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 11 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{11}{25}\) = 0,44.
Ответ: 0,44.
Ответ: 0,44
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,4 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Подставим V = 0,4 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,4 = 3 920.
Ответ: 3 920.
Ответ: 3 920
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 3)(x - 6) ≤ 0
Решение
Нули выражения: x = -3 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 6) <= 0 получаем решение [-3;6]. Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 2,4 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 15 см = 0,15 м.
После 3-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 4-го прыжка уже меньше.
Ответ: 4.
Ответ: 4
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 26°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.\nДругой острый угол равен 90° - 26° = 64°.\nОтвет: 64.
Ответ: 64
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 10, BC = 5, CD = 13. Найдите AD.
Решение
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.\nДля трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.\nAD = AB + CD - BC = 10 + 13 - 5 = 18.\nОтвет: 18.
Ответ: 18
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.
Решение
При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.\nСледовательно, меньшее основание равно 5 - 3 = 2.\nОтвет: 2.
Ответ: 2
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.\nПо клеткам основания равны 5 и 7, высота равна 4.\nS = (5 + 7) / 2 · 4 = 24.\nОтвет: 24.
Ответ: 24
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x^2+y=5,\\6x^2-y=2.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сложим оба уравнения, чтобы \(y\) сократился.
Шаг 1. Складываем уравнения:
\((x^2+y)+(6x^2-y)=5+2\Rightarrow 7x^2=7\).
Шаг 2. Отсюда \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\) из первого уравнения:
\(y=5-x^2=5-1=4\) (одинаково для обоих \(x\)).
Ответ: \((-1;\,4);\ (1;\,4)\).
Правильный ответ: (-1;4);(1;4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).
Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 2) км/ч.
Шаг 2. Время в пути одинаковое с учётом остановки:
224/x = 224/(x+2) + 2.
Шаг 3. Переносим и умножаем на x·(x+2): 2x² + 4x − 448 = 0.
Шаг 4. D = 3600, √D = 60. x = (−4+60)/(2·2) = 14.
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=|x|\,(x+2)-6x\]
Определите, при каких значениях m прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть |x| на двух промежутках и найти вершины получившихся парабол.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, функция y = x(x+2)−6x = x²+(2−6)x.
Вершина при x = (2−6)/2, значение y = −(6−2)²/4 = -4.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, функция y = −x(x+2)−6x = −x²−(2+6)x.
Вершина при x = −(2+6)/2, значение y = (2+6)²/4 = 16.
Шаг 3. Горизонтальная прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком, если она проходит через одну из этих вершин.
Ответ: -4; 16.
Правильный ответ: -4; 16
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 40, а сторона BC в 2 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 2 раза меньше AB, то есть AB = 2·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 2 = 40 / 2 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что углы BB₁C₁ и BCC₁ равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба угла дополняют угол A до 90°.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC, в △BB₁A: ∠BB₁C₁ = 90° − ∠A.
Шаг 2. CC₁ ⊥ AB, в △CC₁A: ∠BCC₁ = 90° − ∠A.
Шаг 3. ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁ = 90° − ∠A. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=12 и R=20.
O₁O₂ = r + R = 32 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(20·12) = 2√240 = 8√15.
Ответ: 8√15.
Правильный ответ: 8√15
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: