Загрузка заданий...

Вариант 114 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 14.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.

Стоимость (руб.)	15 000	19 500	18 000
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.

Ответ: 321

2 Задание 2 1 балл

Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.

Ответ: 7.7

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.

Ответ: 4500

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.

Ответ: 17550

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

По рисунку половина ширины кожуха равна 30 см, высота до точки арки у боковой стенки равна 40 см. Радиус: R = √(30² + 40²) = √2500 = 50 см. Ответ: 50.

Ответ: 50

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$87,5 + 0,2 \cdot 0,03$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $87,5 + 0,2 \cdot 0,03$.

Последовательно выполняем действия (сложение, умножение):

Шаг 1: $(87,5) + 0,2 = 87,7$.

Шаг 2: $(87,7) \cdot 0,03 = 2,631$.

Ответ: $2,631$.

Ответ: 2,631

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше -4, но меньше -1,92.
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{8}{5}$

$-\frac{1}{10}$

-3,125

3,6

Решение

Сравним числа -4 и -1,92. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (-3,125) лежит между этими числами.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{35}$$

Решение

Вычислим выражение: 3√5 · 2√7 · √35.

Перемножим коэффициенты: 3 · 2 = 6.

Подкоренные выражения дают: √5 · √7 · √35 = √(5·7·35) = √(1225) = 35.

Тогда всё выражение равно 6 · 35 = 210.

Ответ: 210.

Ответ: 210

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 4x + 4 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 4x + 4 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -4, c = 4.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -4² - 4·1·4 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = 4 / 2 = 2

Ответ: 2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Решение

Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события $A \cup \overline{B}$: 5.

$P=5/8=0,625$.

Ответ: 0,625

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = 0.8x + 2

Б) y = 0.1/x

В) y = -2x² - 6x + 1

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -35 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = -35 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-35) + 32 = -31.

Ответ: -31.

Ответ: -31

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 2)(x - 7) ≤ 0

(-∞;7]

[-2;7]

(-2;7)

(7;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -2 и x = 7. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 7 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 7) <= 0 получаем решение [-2;7]. Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,3 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,6 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,3, d = 0,6, n = 10.

Сумма первых 10 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 30.

Ответ: 30.

Ответ: 30

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.\nS = $\frac{1}{2}$ · 4 · 9 = $\frac{36}{2}$ = 18.\nОтвет: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 80°, угол CAD равен 28°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.\nСледовательно, ∠ACD = 80°.\nУгол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому\n∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:\nугол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.\nПолучаем ∠ABC = 80° + 28° = 108°.\nОтвет: 108.

Ответ: 108

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 114°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.\nИскомый угол равен 180° - 114° = 66°.\nОтвет: 66.

Ответ: 66

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.\nПо клеткам основания равны 6 и 8, высота равна 4.\nS = (6 + 8) / 2 · 4 = 28.\nОтвет: 28.

Ответ: 28

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: тупым может быть только один угол.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-8)^2<\sqrt{3}(x-8)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-8)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-8)^2-\sqrt{3}(x-8)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-8)\bigl[(x-8)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=8$ и $x=8+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(8;\; 8+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (8;8+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 341 кг свежих фруктов:

341 · 14/100 = 47,74 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 23% воды, значит сухого вещества 77%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,77·x = 47,74.

x = 47,74 / 0,77 = 62 кг.

Ответ: 62.

Правильный ответ: 62

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=-4-\dfrac{x+1}{x^2+1x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=-4-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-1 $.

У функции $ y=-4-\frac1x $ нет значений $ y=-4 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=-3 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=-4; -3 $.

Ответ: -4; -3.

Правильный ответ: -4; -3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 51, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.

Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. KP/BC = AP/AB.

По условию BC в 3 раза меньше AB, то есть AB = 3·BC.

KP = AP · BC/AB = AP / 3 = 51 / 3 = 17.

Ответ: 17.

Правильный ответ: 17

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти два равных угла у треугольников A₁CB₁ и ACB.

Шаг 1. Угол C — общий (∠A₁CB₁ = ∠ACB).

Шаг 2. AA₁ ⊥ BC ⟹ в △AA₁C: ∠CAA₁ = 90° − ∠C.

BB₁ ⊥ AC ⟹ в △BB₁C: ∠CBB₁ = 90° − ∠C.

Значит ∠CA₁B₁ = ∠CB₁A₁ = 90° − ∠C = ∠CAB, т.е. ∠CA₁B₁ = ∠CAB.

Шаг 3. По двум равным углам △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 8, BC = 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 8 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 4 · 8 = 32.

BE = √32 = 4√2.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 4√2.

Ответ: 4√2.

Правильный ответ: 4√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2