Загрузка заданий...
Вариант 125 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | спальня | кухня | гостиная |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 1, спальня — 2, кухня — 3, гостиная — 8.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, спальня, кухня, гостиная.
Следовательно, ответ: 1238.
Ответ: 1238
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 20 см на 60 см продаётся в упаковках по 14 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?
Решение
По плану площадь покрытия санузла составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.
Площадь одной доски: 0,2 · 0,6 = 0,12 кв. м.
Нужно элементов: 5,76 / 0,12 = 48.
В одной упаковке 14 штук, значит понадобится 4 упаковки.
Ответ: 4.
Ответ: 4
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь меньшей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
По плану площадь нужного помещения составляет 27 клеток.
Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.
Значит, площадь равна 27 · 0,16 = 4,32 кв. м.
Ответ: 4,32.
Ответ: 4,32
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?
Решение
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.
Ответ: 200.
Ответ: 200
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «800» | 900 руб. за 800 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб |
| План «1000» | 1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб |
| План «Безлимитный» | 1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?
Решение
Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:
План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.
План «1000»: 1 050 руб.
План «Безлимитный»: 1 100 руб.
Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.
Ответ: 1 000.
Ответ: 1000
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,02 + 0,06$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,02 + 0,06\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,02) + 0,06 = 0,08\).
Ответ: \(0,08\).
Ответ: 0,08
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 0,391. Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число 0,391 по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{11} \cdot \sqrt{55}$$
Решение
Вычислим выражение: 3√5 · 5√11 · √55.
Перемножим коэффициенты: 3 · 5 = 15.
Подкоренные выражения дают: √5 · √11 · √55 = √(5·11·55) = √(3025) = 55.
Тогда всё выражение равно 15 · 55 = 825.
Ответ: 825.
Ответ: 825
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -2x - 3y = 11 \\ -x - 4y = 23 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-2x - 3y = 11
-x - 4y = 23
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -1, а второе — на -2.
Получим:
\((-2x - 3y = 11) \cdot -1\): 2x + 3y = -11
\((-x - 4y = 23) \cdot -2\): 2x + 8y = -46
Вычтем второе уравнение из первого:
-5y = 35
y = 35 / -5 = -7
Подставим y = -7 в первое уравнение:
-2x - 3y = 11
Получаем x = 5.
Ответ: (5;-7)
Ответ: 5;-7
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 25 чашек: 17 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 8 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{8}{25}\) = 0,32.
Ответ: 0,32.
Ответ: 0,32
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 10 колец.
Решение
Подставим n = 10 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·10 = 47000.
Ответ: 47 000.
Ответ: 47 000
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
10x - x2 > 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 10x - x² = x(10 - x). Нули: 0 и 10. Верное решение: (0;10). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 17 мест, а в десятом ряду 22 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (22 - 17) / (10 - 5) = 1.
Тогда первый ряд: a₁ = a5 - (5 - 1)·d = 17 - 4·1 = 13.
Последний ряд: a19 = a₁ + (19 - 1)·d = 13 + 18·1 = 31.
Ответ: 31.
Ответ: 31
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 5/8, AB = 16. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 16 · \(\frac{5}{8}\) = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 22√2. Найдите длину стороны этого квадрата.
Решение
Для квадрата R = a√2 / 2.
Значит, a = R·√2 = 22√2 · √2 = 44.
Ответ: 44.
Ответ: 44
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Острый угол равен 52°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Решение
Меньшая диагональ ромба биссектрисой его тупых углов.
Тупой угол ромба равен 180° - 52° = 128°.
Угол между стороной и меньшей диагональю равен половине тупого угла: 128° / 2 = 64°.
Ответ: 64.
Ответ: 64
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 8 и 4.
Большая диагональ равна 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно: тупым может быть только один угол.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(9a-3b+6\), если \(\dfrac{5a-7b+3}{7a-5b+3}=2\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(9a-3b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(5a-7b+3 = 2(7a-5b+3)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(5a-7b+3 = 14a-10b+6\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 9a-3b+3\), откуда \(9a-3b = -3\).
Шаг 4. Вычисляем: \(9a-3b+6 = -3+6 = 3\).
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 72 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 10 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время первого автомобиля равно времени второго, разделить путь на половины.
Шаг 1. Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, длина пути — S км.
Шаг 2. Время первого: S/x. Время второго: S/(2·72) + S/(2·(x+10)).
Шаг 3. Прибыли одновременно, значит: S/x = S/(2·72) + S/(2·(x+10)).
Шаг 4. Делим на S и умножаем на 2·72·x·(x+10):
2·72·(x+10) = x·(x+10) + 72·x.
Шаг 5. Раскрываем и упрощаем: x² + -62x − 1440 = 0.
Шаг 6. D = -62² + 4·1440 = 9604, √D = 98.
x = (−-62 + 98) / 2 = 80 (берём положительный корень).
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{7x-10}{7x^2-10x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=10/7 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=10/7 \), откуда \( k=49/100 \).
Ответ: 49/100.
Правильный ответ: 49/100
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.
Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.
Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).
Шаг 2. По условию r = 15, диагональ = 60 = 4r.
Значит диагональ = 4·15, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.
Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = \(\frac{1}{2}\), α/2 = 30°, α = 60°.
Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.
Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.
Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 20, BC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.
Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.
BE — касательная: BE² = степень точки B.
Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).
Степень точки B: BE² = BC · BD.
Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 20 (вертикальная хорда).
BE² = BC · BD = 10 · 20 = 200.
BE = √200 = 10√2.
Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 10√2.
Ответ: 10√2.
Правильный ответ: 10√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.