Загрузка заданий...
Вариант 125 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 14.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,2 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | спальня | кухня |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 4, кладовая — 7, спальня — 6, кухня — 8.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.
Следовательно, ответ: 4768.
Ответ: 4768
2
Задание 2
1 балл
Плитка для пола размером 40 см на 40 см продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?
Решение
По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.
Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,64 = 98,56 кв. м.
Площадь одной плитки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.
Нужно элементов: 98,56 / 0,16 = 616.
В одной упаковке 8 штук, значит понадобится 77 упаковок.
Ответ: 77.
Ответ: 77
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.
Значит, площадь равна 36 · 0,36 = 12,96 кв. м.
Ответ: 12,96.
Ответ: 12,96
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?
Решение
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.
Ответ: 500.
Ответ: 500
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «500» | 600 руб. за 500 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб |
| План «1000» | 820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб |
| План «Безлимитный» | 900 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?
Решение
Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:
План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.
План «1000»: 820 руб.
План «Безлимитный»: 900 руб.
Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.
Ответ: 820.
Ответ: 820
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,02 - \frac{1}{8} + \frac{7}{40}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,02 - \frac{1}{8} + \frac{7}{40}\).
Последовательно выполняем действия (вычитание, сложение):
Шаг 1: \((0,02) - \frac{1}{8} = -0,105\).
Шаг 2: \((-0,105) + \frac{7}{40} = 0,07\).
Получили результат \(0,07\).
Ответ: \(0,07\).
Ответ: 0,07
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу \(\frac{-8}{11}\). Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{-8}{11}\) по своему значению совпадает с точкой B.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$7^{-2} \cdot (7^2)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 7^(-2) · (7^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^2 = 7^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-2 · 7^4 = 7^2.
Получаем 7^2 = 49.
Ответ: 49.
Ответ: 49
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 6x + 11 = 53
Решение
Решим уравнение: 6x + 11 = 53
Перенесём 11 в правую часть:
6x = 53 - 11
6x = 42
Разделим обе части на 6:
x = 42 / 6
x = 7
Ответ: 7
Ответ: 7
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 10 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 190 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 190/200 = 0,95.
Ответ: 0,95.
Ответ: 0,95
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) y = -1x
2) y = 0,5x - 3
3) y = -1x - 2
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 295,75 Вт, а сила тока равна 6,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 295,75/(6,5²) = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 3)(x - 6) > 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -3 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 6) > 0 получаем решение (-∞;-3) ∪ (6;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = 3, n = 15.
Сначала найдём последний ряд: a15 = 20 + (15 - 1)·3 = 62.
Сумма первых 15 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 15·(20 + 62)/2 = 615.
Ответ: 615.
Ответ: 615
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 15, BC = 8, sin ∠ABC = 5/6. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:\nS = \(\frac{1}{2}\) · AB · BC · sin∠ABC.\nS = \(\frac{1}{2}\) · 15 · 8 · \(\frac{5}{6}\) = 600/12 = 50.\nОтвет: 50.
Ответ: 50
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 18√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Сторона квадрата равна диаметру окружности.\na = 2r = 2 · 18√2 = 36√2.\nДиагональ квадрата равна a√2.\nd = 36√2 · √2 = 72.\nОтвет: 72.
Ответ: 72
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 52°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Решение
Угол A равен 180° - 52° = 128°.\nТак как AC — биссектриса, ∠CAD = 128° / 2 = 64°.\nВ треугольнике ACD: ∠ACD = 180° - 64° - 52° = 64°.\nОтвет: 64.
Ответ: 64
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.\nНа уровне y=5: t=(5−1)/(7−1)=\(\frac{2}{3}\). x_A=1+\(\frac{2}{3}\)·3=3... нет, считаем по клеткам: A=(2,5), B=(6,5). AB=4.\nОтвет: 4.
Ответ: 4
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2+y^2=36,\\10x^2+2y^2=36x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 2 — левые части станут одинаковыми.
Шаг 1. Умножаем первое на 2: \(10x^2+2y^2=72\).
Шаг 2. По второму уравнению: \(10x^2+2y^2=36x\).
Шаг 3. Левые части равны — приравниваем правые:
\(72=36x\Rightarrow x=2\).
Шаг 4. Подставляем \(x=2\) в первое уравнение:
\(5\cdot4+y^2=36\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4\).
Ответ: \((2;\,-4);\ (2;\,4)\).
Правильный ответ: (2;-4);(2;4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 50 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.
Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 5 км/ч.
Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 50 км.
Время плота в пути: 50 / 5 = 10 ч.
Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:
10 − 1 = 9 ч.
Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:
108/(x+5) + 108/(x−5) = 9.
Шаг 5. Умножаем на (x+5)(x−5) и упрощаем: квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение: x = 25.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{18}{5}\) + \(\frac{27}{5}\) = 9. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=|x|\,(x+4)-7x\]
Определите, при каких значениях m прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть |x| на двух промежутках и найти вершины получившихся парабол.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, функция y = x(x+4)−7x = x²+(4−7)x.
Вершина при x = (4−7)/2, значение y = −(7−4)²/4 = -\(\frac{9}{4}\).
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, функция y = −x(x+4)−7x = −x²−(4+7)x.
Вершина при x = −(4+7)/2, значение y = (4+7)²/4 = 121/4.
Шаг 3. Горизонтальная прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком, если она проходит через одну из этих вершин.
Ответ: -\(\frac{9}{4}\); 121/4.
Правильный ответ: -9/4; 121/4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол вписанный в диаметр = 90° — точки P и K лежат на окружности с диаметром BH.
Шаг 1. Так как BH — диаметр, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен 90°.
Значит ∠BPH = 90° и ∠BKH = 90°, то есть P и K — основания перпендикуляров из H.
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABC точка H — основание высоты из B.
Четырёхугольник BPHK — прямоугольник (у него все углы прямые).
Шаг 3. В прямоугольнике PK = BH (противоположные стороны).
PK = BH = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 200 ⟹ a+b = 100.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1500/100 = 30.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=100 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=30:
a = 10, b = 90.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 30·10/100 = 3.
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: