Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/60 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 245.
Ответ: 245
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 245/60 R18?
Решение
В маркировке 245/60 R18 ширина шины равна 245 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 245 · 60 / 100 = 147 мм. Ответ: 147.
Ответ: 147
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/40 R19?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R17 и нового колеса 275/40 R19. Ответ: 0.8.
Ответ: 0.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/60 R17 получаем диаметр 701.8 мм. Ответ: 701.8.
Ответ: 701.8
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/50 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R17 и колеса 275/50 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.7.
Ответ: 0.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$62,5 - \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(62,5 - \frac{1}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((62,5) - \frac{1}{1} = 61,5\).
Получили результат \(61,5\).
Ответ: \(61,5\).
Ответ: 61,5
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} < 0\)
2
\(\frac{1}{a} > 0\)
3
-1 - a < 0
4
-2 - a > 0
Решение
По чертежу видно, что -2 < a < -1.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — верно.
2) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
3) -1 - a < 0 ⇔ a > -1 — неверно.
4) -2 - a > 0 ⇔ a < -2 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)$$
Решение
Вычислим выражение: (√5 - 2)(√5 + 2).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√5)² - 2² = 5 - 4 = 1.
Ответ: 1.
Ответ: 1
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: $$\frac{4}{x + 2} = 1$$
Решение
Решим уравнение: 4/(x + 2) = 1
Область допустимых значений: x != -2.
Умножим обе части уравнения на x + 2:
4 = 1(x + 2)
Раскроем скобки:
4 = 1x + 2
Перенесём число в левую часть:
2 = 1x
x = 2 / 1
x = 2
Проверка ОДЗ: x = 2, x != -2, условие выполняется.
Ответ: 2
Ответ: 2
10Статистика, вероятности1 балл
В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 9 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 125.
Благоприятных исходов: 116 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 116/125 = 0,928.
Ответ: 0,928.
Ответ: 0,928
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -\dfrac{1}{5}x - 5\)
Б) \(y = -x^2 + 7x - 7\)
В) \(y = \dfrac{9}{x}\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 173,4 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 173,4·1000 = 173 400 Дж.
v = √(2·173 400/1200) = 17.
Ответ: 17.
Ответ: 17
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 2)(x - 10) ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -2 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 10) <= 0 получаем решение [-2;10]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -9° C.
Решение
Температура уменьшается равномерно на 5° C в минуту.
Через 6 минут изменение составит 5·6 = 30° C.
Итоговая температура: -9 - 30 = -39.
Ответ: -39.
Ответ: -39
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 7/12, BC = 48. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.
Значит, AC = BC · tg B = 48 · \(\frac{7}{12}\) = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.
p = 50 / 2 = 25.
S = p·r = 25 · 5 = 125.
Ответ: 125.
Ответ: 125
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 5.
Решение
В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция диагонали равна средней линии.
При угле 45° вертикальная и горизонтальная проекции равны.
Следовательно, высота равна средней линии: (4 + 5) / 2 = 4,5.
Ответ: 4,5.
Ответ: 4,5
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
По клеткам основание равно 4, высота равна 7.
S = 4 · 7 / 2 = 14.
Ответ: 14.
Ответ: 14
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
2
Боковые стороны любой трапеции равны.
3
Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2+2y^2=50,\\12x^2+8y^2=50x.\end{cases}\)
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/90 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/110 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/90 + S/110) = 2 / (\(\frac{1}{90}\) + 1/110).
Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·11·(\(\frac{1}{2}\)) = 11.
Ответ: 11.
Правильный ответ: 11
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы PA и QB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ PA ∥ QB.
Шаг 2. В треугольниках TPA и TQB (T — точка на PQ):
∠ATP = ∠BTQ (вертикальные), PA ∥ QB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TP/TQ = a:b.
Шаг 3. TP/TQ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как a:b. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 8 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 6, AB = 8, CD = 10, BC = 2.
Пока ты решал, задания в этом варианте изменились, и проверить
твои ответы точно уже нельзя. Ответы остались в полях —
обнови страницу, чтобы получить свежий вариант.
