Загрузка заданий...
Вариант 136 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 14.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.
По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.
1
Задание 1
1 балл
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Населённые пункты | Новая | Абрамово | Таловка |
|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.
Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.
Следовательно, ответ: 324.
Ответ: 324
2
Задание 2
1 балл
Сколько километров проедут Ваня с дедушкой от деревни Калиновка до села Ольгино, если они поедут по шоссе через село Ровное?
Решение
От Калиновка до Ровное: 5 клеток · 1 км = 5 км.
От Ровное до Ольгино: 12 клеток · 1 км = 12 км.
Итого по шоссе: 5 + 12 = 17 км.
Ответ: 17.
Ответ: 17
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от деревни Вёсенка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 5 клеток.
Значит, катеты равны 12 км и 5 км.
Это треугольник со сторонами 5–12–13, поэтому расстояние по прямой равно 13 км.
Ответ: 13.
Ответ: 13
4
Задание 4
1 балл
Сколько минут затратят на дорогу из деревни Масловка в село Захарово Саша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?
Решение
По прямой расстояние равно 20 км.
Скорость по лесной дорожке — 15 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 20 / 15 ч.
В минутах это 80 мин, то есть 80,0 мин.
Ответ: 80,0.
Ответ: 80,0
5
Задание 5
1 балл
| Наименование продукта | Пирожки | Княжеское | Васильево | Рябиновка |
|---|---|---|---|---|
| Молоко (1 л) | 55 | 55 | 53 | 46 |
| Хлеб (1 батон) | 38 | 30 | 29 | 28 |
| Сыр «Российский» (1 кг) | 274 | 266 | 281 | 276 |
| Говядина (1 кг) | 336 | 332 | 335 | 333 |
| Картофель (1 кг) | 23 | 17 | 29 | 17 |
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Пирожки, селе Княжеское, деревне Васильево и деревне Рябиновка. Серёжа с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Решение
Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:
Пирожки: 2·55=110 + 3·38=114 + 2·336=672 + 4·23=92 + 1·274=274 = 1 262
Княжеское: 2·55=110 + 3·30=90 + 2·332=664 + 4·17=68 + 1·266=266 = 1 198
Васильево: 2·53=106 + 3·29=87 + 2·335=670 + 4·29=116 + 1·281=281 = 1 260
Рябиновка: 2·46=92 + 3·28=84 + 2·333=666 + 4·17=68 + 1·276=276 = 1 186
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Рябиновка": 1 186 руб.
Ответ: 1 186.
Ответ: 1186
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$1,5 - 0,8 - 0,2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(1,5 - 0,8 - 0,2\).
Последовательно выполняем действия (вычитание, вычитание):
Шаг 1: \((1,5) - 0,8 = 0,7\).
Шаг 2: \((0,7) - 0,2 = 0,5\).
Ответ: \(0,5\).
Ответ: 0,5
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами -3,2 и -1,5?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -3,2 и -1,5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (-2,4) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(4\sqrt{3})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (4√3)².
Используем свойство степени произведения: (4√3)² = 4² · (√3)².
Получаем 16 · 3 = 48.
Ответ: 48.
Ответ: 48
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -5x - y = -38 \\ 2x + y = 20 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-5x - y = -38
2x + y = 20
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе — на -5.
Получим:
\((-5x - y = -38) \cdot 2\): -10x - 2y = -76
\((2x + y = 20) \cdot -5\): -10x - 5y = -100
Вычтем второе уравнение из первого:
3y = 24
y = 24 / 3 = 8
Подставим y = 8 в первое уравнение:
-5x - y = -38
Получаем x = 6.
Ответ: (6;8)
Ответ: 6;8
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 93 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 107 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 107/200 = 0,535.
Ответ: 0,535.
Ответ: 0,535
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 13,5 Вт, а сила тока равна 1,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 13,5/(1,5²) = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x − 0,2 > 1,1 \\ -2,4 − 4x > 31,6 \end{cases}$$
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 560, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 15 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Высота равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота совпадает с высотой.\nВысота равна a·√3 / 2.\nЗначит, a·√3 / 2 = 13√3.\nОтсюда a / 2 = 13, значит a = 26.\nОтвет: 26.
Ответ: 26
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если BC = 12.
Решение
Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.\nПоэтому AB = 2R = 13.\nТогда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.\nПо теореме Пифагора находим неизвестный катет.\nОтвет: 5.
Ответ: 5
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 28° и 82°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
Решение
Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.\nИскомый угол равен 180° - 28° - 82° = 70°.\nОтвет: 70.
Ответ: 70
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.\nПо клеткам их длины равны 10 и 6.\nБольшая диагональ равна 10.\nОтвет: 10.
Ответ: 10
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.
2) Неверно.
3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(7a-19b+17\), если \(\dfrac{8a-5b+2}{5a-8b+2}=3\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(7a-19b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(8a-5b+2 = 3(5a-8b+2)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(8a-5b+2 = 15a-24b+6\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 7a-19b+4\), откуда \(7a-19b = -4\).
Шаг 4. Вычисляем: \(7a-19b+17 = -4+17 = 13\).
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).
Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 5) км/ч.
Шаг 2. Время в пути туда и обратно (с остановкой) одинаково:
180/x = 180/(x+5) + 3.
Шаг 3. Переносим 180/(x+5) влево:
180/x − 180/(x+5) = 3.
Шаг 4. Умножаем на x·(x+5): 3x² + 15x − 900 = 0.
Шаг 5. D = 11025, √D = 105. x = (−15+105)/(2·3) = 15.
Шаг 6. Скорость на обратном пути: 15 + 5 = 20 км/ч.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=\left|x^2+4x-12\right|\]
Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: модуль квадратного трёхчлена — это парабола, у которой часть ниже оси Ox отражается вверх.
Шаг 1. Квадратный трёхчлен под модулем имеет два корня: x = -6 и x = 2.
Шаг 2. Исходная парабола пересекает ось Ox в двух точках; часть дуги ниже Ox отражается вверх.
В результате получается W-образный график с двумя «горбами».
Шаг 3. Горизонтальная прямая y = m при достаточно большом m пересекает каждый из двух «горбов» в двух точках.
Максимальное число пересечений = 4.
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 24² + (AB/2)² = 24² + 7² = 625. R = 25.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 7 от центра:
(CD/2)² = R² − 7² = 625 − 49 = 576.
CD/2 = 24.
Шаг 3. CD = 2 · 24 = 48.
Ответ: 48.
Правильный ответ: 48
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников AB₁C₁ и ABC.
Шаг 1. Угол A — общий (∠B₁AC₁ = ∠BAC).
Шаг 2. BB₁ ⊥ AC ⟹ в △BB₁A: ∠ABB₁ = 90° − ∠A.
CC₁ ⊥ AB ⟹ в △CC₁A: ∠ACC₁ = 90° − ∠A.
Значит ∠AB₁C₁ = 90° − ∠A = ∠ABC, т.е. ∠AB₁C₁ = ∠ABC.
Шаг 3. По двум равным углам △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: ввести координаты с началом в точке пересечения медианы и биссектрисы.
Шаг 1. Пусть медиана AD и биссектриса BE пересекаются в точке O.
Введём систему координат: O = (0,0), D на оси Ox, E на оси Oy (AD ⊥ BE).
|AD| = |BE| = 20, значит D = (10, 0), E = (0, 10).
Шаг 2. A = (-L/2, 0) = противоположный конец медианы.
D — середина BC, E делит AC по теореме о биссектрисе в отношении AB:BC.
Шаг 3. Из условий симметрии и теоремы о биссектрисе находим вершины треугольника.
Отношения сторон: AB : BC : CA = √13 : 2√13 : 3√5.
Шаг 4. Масштабирование: коэффициент = \(\frac{20}{4}\) = 5.
Стороны: 5√13; 10√13; 15√5.
Ответ: 5√13; 10√13; 15√5.
Правильный ответ: 5√13; 10√13; 15√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: