Загрузка заданий...

Вариант 69 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 4, кладовая — 8, спальня — 5, кухня — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.

Следовательно, ответ: 4857.

Ответ: 4857

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 80 см продаётся в упаковках по 14 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,64 = 98,56 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,8 = 0,16 кв. м.

Нужно элементов: 98,56 / 0,16 = 616.

В одной упаковке 14 штук, значит понадобится 44 упаковки.

Ответ: 44.

Ответ: 44

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.

Значит, площадь равна 36 · 0,36 = 12,96 кв. м.

Ответ: 12,96.

Ответ: 12,96

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.

Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой вместимостью не менее 6 кг.

Решение

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель А: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.

Модель Е: 27 600 + 2 300 + доставка бесплатная = 29 900 руб.

Модель Ж: 27 585 + 1 900 + доставка: 10% от 27 585 = 2758,5 руб. = 32243,5 руб.

Наименьшая стоимость у модели А: 29 700 руб.

Ответ: 29 700.

Ответ: 29700

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} - 0,01 \cdot \frac{1}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{5} - 0,01 \cdot \frac{1}{10}$.

Последовательно выполняем действия (вычитание, умножение):

Шаг 1: $(\frac{1}{5}) - 0,01 = 0,19$.

Шаг 2: $(0,19) \cdot \frac{1}{10} = 0,019$.

Получили результат $0,019$.

Ответ: $0,019$.

Ответ: 0,019

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-51}{11}$

-3,9

$\frac{\sqrt{17}}{2}$

$\sqrt{28}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -4 и -3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-51}{11}$ ≈ -4,6364

2) -3,9 ≈ -3,9

3) $\frac{\sqrt{17}}{2}$ ≈ 2,0616

4) $\sqrt{28}$ ≈ 5,2915

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 2)(\sqrt{8} + 2)$$

Решение

Вычислим выражение: (√8 - 2)(√8 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√8)² - 2² = 8 - 4 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 4 + 4(2x - 8) = 10x - 38

Решение

Решим уравнение: 4 + 4(2x - 8) = 10x - 38

Раскроем скобки:

4 + 4(2x - 8) = 10x - 38

4 + 8x - 32 = 10x - 38

Приведём подобные слагаемые в левой части:

8x - 28 = 10x - 38

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-2x = -10

Разделим обе части на -2:

x = -10 / -2

x = 5

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 10 чашек: 2 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 10.

Благоприятных исходов: 8 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{8}{10}$ = 0,8.

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 23 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = 23 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(23 − 32)/9 = -5.

Ответ: -5.

Ответ: -5

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 5)(x - 5) > 0

Решение

Нули выражения: x = -5 и x = 5. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 5 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 5) > 0 получаем решение (-∞;-5) ∪ (5;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 56 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 56 минут пройдёт 7 промежутков по 8 минут.

Тогда масса станет равна 400·($\frac{1}{2}$)^7 = 3,125 мг.

Ответ: 3,125.

Ответ: 3,125

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 63°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.\nДругой острый угол равен 90° - 63° = 27°.\nОтвет: 27.

Ответ: 27

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 2√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.\nr = (2√3 · √3) / 6 = $\frac{6}{6}$ = 2.\nОтвет: 2.

Ответ: 2

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 40, а две его стороны равны 5 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

Решение

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.\nh₁ = 40 / 5 = 8, h₂ = 40 / 10 = 4.\nТребуемая высота равна 8.\nОтвет: 8.

Ответ: 8

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.\nПо клеткам основание равно 6, высота равна 4.\nS = 6 · 4 / 2 = 12.\nОтвет: 12.

Ответ: 12

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

В параллелограмме есть два равных угла.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2-5x=y,\\2x-5=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $2x^2-5x=2x-5$.

Шаг 2. Переносим влево: $2x^2-7x+5=0$.

Шаг 3. Разложим: $(2x-5)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{5}{2}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{5}{2}$: $y=2\cdot\dfrac{5}{2}-5=0$.

При $x=1$: $y=2-5=-3$.

Ответ: $\left(\dfrac{5}{2};\,0\right);\ (1;\,-3)$.

Правильный ответ: (5/2;0);(1;-3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 450 км автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 230 км — со скоростью 115 км/ч, а последние 120 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 450/90 = 5 ч,

t₂ = 230/115 = 2 ч,

t₃ = 120/40 = 3 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 450 + 230 + 120 = 800 км.

Шаг 3. Общее время: 5 + 2 + 3 = 10 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 800 / 10 = 80 км/ч.

Ответ: 80.

Правильный ответ: 80

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+1)((x-2))}{2-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+1),\ x\ne 2 $.

После преобразования получаем параболу $ y=-(x^2+a) $ с выколотой точкой при $ x=2 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-2,5; -2; 2 $.

Ответ: $ -2,5; -2; 2 $.

Правильный ответ: -2,5; -2; 2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 2, AC = 8.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.

Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).

Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).

AB² + r² = AO² = (AC − r)².

2² + r² = (8 − r)².

4 + r² = 64 − 16r + r².

16r = 64 − 4 = 60.

r = $\frac{60}{16}$ = 3.75.

Шаг 3. D = 2r = $\frac{60}{8}$ = 7,5.

Ответ: 7,5.

Правильный ответ: 7,5

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что AN — биссектриса угла BAD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.

Шаг 1. CD = 2·AD (по условию), N — середина CD.

Значит CD/2 = AD/2 ... нет: CD = CD, CD/2 = AD.

Шаг 2. В параллелограмме AD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,

образованном AN и соседними сторонами, два угла при основании равны.

(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)

Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ AN — биссектриса угла BAD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 13² = 169, AD·BC = 36·12 = 432.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 13.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2