Загрузка заданий...
Вариант 71 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 235/65 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 245.
Ответ: 245
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 220/60 R16?
Решение
В маркировке 220/60 R16 ширина шины равна 220 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 220 · 60 / 100 = 132 мм. Ответ: 132.
Ответ: 132
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 255/50 R19?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 235/65 R17 и нового колеса 255/50 R19. Ответ: 0.3.
Ответ: 0.3
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 235/65 R17 получаем диаметр 737.3 мм. Ответ: 737.3.
Ответ: 737.3
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 245/65 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 235/65 R17 и колеса 245/65 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.8.
Ответ: 1.8
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{1} : \frac{4}{9}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{1} : \frac{4}{9}\).
Последовательно выполняем действия (умножение, деление):
Шаг 1: \((\frac{9}{4}) \cdot \frac{1}{1} = \frac{9}{4}\).
Шаг 2: \((\frac{9}{4}) : \frac{4}{9} = \frac{81}{16}\).
Получили дробь \(\frac{81}{16}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(5,0625\).
Ответ: \(5,0625\).
Ответ: 5,0625
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами \(-\frac{13}{20}\) и \(2\sqrt{2}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа \(-\frac{13}{20}\) и \(2\sqrt{2}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (1,875) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$10^{-3} \cdot (10^2)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 10^(-3) · (10^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (10^2)^2 = 10^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 10^-3 · 10^4 = 10^1.
Получаем 10^1 = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{8}{x - 9} = -4$$
Решение
Решим уравнение: 8/(x - 9) = -4
Область допустимых значений: x != 9.
Умножим обе части уравнения на x - 9:
8 = -4(x - 9)
Раскроем скобки:
8 = -4x + 36
Перенесём число в левую часть:
-28 = -4x
x = -28 / -4
x = 7
Проверка ОДЗ: x = 7, x != 9, условие выполняется.
Ответ: 7
Ответ: 7
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,25.
Ответ: 0,25
Ответ: 0,25
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) y = 2/x
Б) y = -2x² + 4x
В) y = -1x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -67 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = -67 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(-67 − 32)/9 = -55.
Ответ: -55.
Ответ: -55
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 8)(x - 6) < 0
Решение
Нули выражения: x = -8 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 6) < 0 получаем решение (-8;6). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 11 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 11, q = 3.
За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 11·3^5 = 2673 мг.
Ответ: 2673.
Ответ: 2673
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике два угла равны 28° и 80°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов треугольника равна 180°.\nТретий угол равен 180° - 28° - 80° = 72°.\nОтвет: 72.
Ответ: 72
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.\nr = (12√3 · √3) / 6 = \(\frac{36}{6}\) = 12.\nОтвет: 12.
Ответ: 12
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 21°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.\nБиссектриса делит угол A пополам.\nСледовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 21° = 42°.\nОтвет: 42.
Ответ: 42
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.\nКатеты равны 7 и 9.\nБольший катет равен 9.\nОтвет: 9.
Ответ: 9
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-6)^2<\sqrt{10}(x-6)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-6)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-6)^2-\sqrt{10}(x-6)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-6)\bigl[(x-6)-\sqrt{10}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=6\) и \(x=6+\sqrt{10}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((6;\; 6+\sqrt{10})\).
Правильный ответ: (6;6+√10)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.
Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.
Скорость против течения: x − 5. По течению: x + 5.
Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 5 ч больше):
132/(x − 5) − 132/(x + 5) = 5.
Шаг 3. Умножаем на (x−5)(x+5) = x²−25:
132(x+5) − 132(x−5) = 5(x²−25).
Шаг 4. Левая часть: 132·2·5 = 1320. Получаем квадратное уравнение:
5x² − 1320 − 125 = 0.
Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 17.
Шаг 6. Проверка: 132/12 = 11 ч, 132/22 = 6 ч, разность 5 ч. ✓
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=\left|x^2+2x-24\right|\]
Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: модуль квадратного трёхчлена — это парабола, у которой часть ниже оси Ox отражается вверх.
Шаг 1. Квадратный трёхчлен под модулем имеет два корня: x = -6 и x = 4.
Шаг 2. Исходная парабола пересекает ось Ox в двух точках; часть дуги ниже Ox отражается вверх.
В результате получается W-образный график с двумя «горбами».
Шаг 3. Горизонтальная прямая y = m при достаточно большом m пересекает каждый из двух «горбов» в двух точках.
Максимальное число пересечений = 4.
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 150°, а CD = 75.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin60°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 75 · sin150°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin60° = 75 · sin150°.
AB = 75 · sin150°/sin60° (здесь sin150°/sin60° = √\(\frac{3}{3}\)).
AB = 25√3.
Ответ: 25√3.
Правильный ответ: 25√3
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников A₁BC₁ и ABC.
Шаг 1. Угол B — общий для обоих треугольников (∠A₁BC₁ = ∠ABC).
Шаг 2. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠AA₁B = 90°. В △AA₁B: ∠ABА₁ = 90° − ∠B.
CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠CC₁B = 90°. В △CC₁B: ∠C₁BC = 90° − ∠B.
Значит ∠BA₁C₁ = ∠BC₁A₁ = 90° − ∠B, т.е. ∠BA₁C₁ = ∠BAC (оба = 90° − ∠B).
Шаг 3. По двум равным углам (∠B общий и ∠BA₁C₁ = ∠BAC) △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √15/4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 4 · 15 = 60.
AT = √60.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 11 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{15}{4}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: