Загрузка заданий...

Вариант 76 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/50 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.

Ответ: 205

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/50 R18?

Решение

В маркировке 205/50 R18 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 205 · 50 / 100 = 102.5 мм. Ответ: 102.5.

Ответ: 102.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 12.9.

Ответ: 12.9

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/50 R16 получаем диаметр 621.4 мм. Ответ: 621.4.

Ответ: 621.4

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и колеса 225/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.6.

Ответ: 1.6

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} - 0,05 - \frac{3}{20}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{2} - 0,05 - \frac{3}{20}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{2}) - 0,05 = 0,45$.

Шаг 2: $(0,45) - \frac{3}{20} = 0,3$.

Получили результат $0,3$.

Ответ: $0,3$.

Ответ: 0,3

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a - 7 < 0

a > 7

$\frac{1}{a} < 0$

-a < -8

Решение

По чертежу видно, что 7 < a < 8.

Проверим варианты ответа:

1) a - 7 < 0 ⇔ a < 7 — неверно.

2) a > 7 ⇔ a > 7 — верно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) -a < -8 ⇔ a > 8 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4^{-3} \cdot (4^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 4^(-3) · (4^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^2)^2 = 4^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-3 · 4^4 = 4^1.

Получаем 4^1 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 8x - 9 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 8x - 9 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 8, c = -9.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 8² - 4·1·-9 = 100.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-8 - √100) / 2 = -9

x₂ = (-8 + √100) / 2 = 1

Ответ: -9;1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Решение

Всего исходов: 50. Вероятность события $A \cap \overline{B}$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=16/50=0,32$.

Ответ: 0,32

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{1}{10x}$

Б) $y = \dfrac{4}{5}x + 2$

В) $y = -2x^2 - 6x + 1$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 28 Вт, а сила тока равна 2 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 28/(2²) = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≥ 9

Решение

Из неравенства x² >= 9 получаем границы x = ±3. Верное решение: (-∞;-3] ∪ [3;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 560, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 46°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Биссектриса делит угол пополам.

Поэтому ∠BAD = 46° : 2 = 23°.

Ответ: 23.

Ответ: 23

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 5√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

Значит, a = 3R / √3 = 3 · 5√3 / √3 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 4√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 4√2 · √2 = 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 4 и 8, высота равна 5.

S = (4 + 8) / 2 · 5 = 30.

Ответ: 30.

Ответ: 30

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.

3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(7-x)(x^2-49)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить $x^2-49$ и $(7-x)$ через $(x-7)$, собрать в одно выражение.

Шаг 1. Разложения: $x^2-49=(x-7)(x+7)$ и $7-x=-(x-7)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(7-x)(x^2-49)=-(x-7)\cdot(x-7)(x+7)=-(x-7)^2(x+7)$.

Шаг 3. Неравенство принимает вид: $-(x-7)^2(x+7)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$ — знак меняется: $(x-7)^2(x+7)\le0$.

Шаг 5. Анализ: $(x-7)^2\ge0$ всегда.

Произведение $\le0$ при двух условиях:

а) $x+7\le0$ и $(x-7)^2>0$, то есть $x\le-7$ (и $x\ne7$, что выполнено);

б) $(x-7)^2=0$, то есть $x=7$ (тогда произведение равно нулю).

Ответ: $(-\infty;\;-7]\cup\{7\}$.

Правильный ответ: (-∞;-7]∪{7}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут быстрее, чем первая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 16) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/(x−16) мин, второй — 105/x мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:

105/(x−16) − 105/x = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x−16):

105·x − 105·(x−16) = 4·x·(x−16).

1680 = 4·x² − 64·x.

4x² − 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.

x = (64 + 176) / (2·4) = 30 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = $\frac{15}{2}$ мин, вторая — 105/30 = $\frac{7}{2}$ мин.

$\frac{15}{2}$ − $\frac{7}{2}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}4x-5,& x<1,\\-2{,}5x+5,& 1\le x\le 4,\\x-9,& x>4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {-5}∪[-1;2,5].

Ответ: {-5}∪[-1;2,5].

Правильный ответ: {-5}∪[-1;2,5]

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 16.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BPHK — прямоугольник, поэтому BH = PK.

Шаг 1. BH — диаметр ⟹ ∠BPH = ∠BKH = 90° (вписанный угол на диаметр).

Шаг 2. Четырёхугольник BPHK — прямоугольник, значит BH = PK (противоположные стороны).

BH = PK = 16.

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка I равноудалена от A и B

⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.

Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 14 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 7 · 14 = 98.

BE = √98 = 7√2.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 7√2.

Ответ: 7√2.

Правильный ответ: 7√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.