Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/55 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 215.
Ответ: 215
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 215/55 R17?
Решение
В маркировке 215/55 R17 ширина шины равна 215 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 215 · 55 / 100 = 118.25 мм. Ответ: 118.25.
Ответ: 118.25
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 2.4.
Ответ: 2.4
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/55 R16 получаем диаметр 631.9 мм. Ответ: 631.9.
Ответ: 631.9
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/55 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и колеса 215/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
Ответ: 1.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$22,5 : 0,15 - \frac{2}{25}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(22,5 : 0,15 - \frac{2}{25}\).
Последовательно выполняем действия (деление, вычитание):
Шаг 1: \((22,5) : 0,15 = 150\).
Шаг 2: \((150) - \frac{2}{25} = 149,92\).
Получили результат \(149,92\).
Ответ: \(149,92\).
Ответ: 149,92
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-0,466
2
\(\frac{\sqrt{8}}{2}\)
3
\(\frac{16}{9}\)
4
\(\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -0,466 ≈ -0,466
2) \(\frac{\sqrt{8}}{2}\) ≈ 1,4142
3) \(\frac{16}{9}\) ≈ 1,7778
4) \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) ≈ 2,0616
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{10} \cdot \sqrt{30}$$
Найдите корни уравнения:
x2 - 2x - 8 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 2x - 8 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -2, c = -8.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -2² - 4·1·-8 = 36.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (2 - √36) / 2 = -2
x₂ = (2 + √36) / 2 = 4
Ответ: -2;4
Ответ: -2;4
10Статистика, вероятности1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 3 чёрных, 6 жёлтых и 31 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 6 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{6}{40}\) = 0,15.
Ответ: 0,15.
Ответ: 0,15
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 7 колец.
Решение
Подставим n = 7 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·7 = 34700.
Ответ: 34 700.
Ответ: 34 700
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-3x + 12 > 9x
1
(-∞;-2)
2
(-∞;0)
3
(-∞;2)
4
(-∞;1)
Решение
Решим неравенство: -3x + 12 > 9x.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -12x < -12.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -12: x < 1.
Значит, x меньше 1.
Этому соответствует промежуток (-∞;1).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14Задачи на прогрессии1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 360, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15Треугольники и их элементы1 балл
Медиана равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике медиана совпадает с высотой.\nВысота равна a·√3 / 2.\nЗначит, a·√3 / 2 = 12√3.\nОтсюда a / 2 = 12, значит a = 24.\nОтвет: 24.
Ответ: 24
16Окружность, круг и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 22√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
По теореме синусов AB = 2R·sin C.\nСледовательно, R = AB / (2 sin 120°).\nПодстановка даёт R = 22.\nОтвет: 22.
Ответ: 22
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Решение
Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.\nsin 150° = \(\frac{1}{2}\).\nh = 34 · \(\frac{1}{2}\) = 17.\nОтвет: 17.
Ответ: 17
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка MC?
Решение
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.\nM лежит на AC. По клеткам: AM=6, MC=3. AM=2·MC.\nОтвет: 2.
Ответ: 2
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
2
Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
3
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
Шаг 3. ОДЗ: \(3-x\ge0\Rightarrow x\le3\). Значит \(x=5\) не подходит.
Ответ: \(-2\).
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 29%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 32 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 32 кг сухих фруктов:
32 · 71/100 = 22,72 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 84% воды, значит сухого вещества 16%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,16·x = 22,72.
x = 22,72 / 0,16 = 142 кг.
Ответ: 142.
Правильный ответ: 142
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=1-\dfrac{x+5}{x^2+5x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=1-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-5 \).
У функции \( y=1-\frac1x \) нет значений \( y=1 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=1,2 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=1; 1,2 \).
Ответ: 1; 1,2.
Правильный ответ: 1; 1,2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 8² + (AB/2)² = 8² + 6² = 100. R = 10.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 6 от центра:
(CD/2)² = R² − 6² = 100 − 36 = 64.
CD/2 = 8.
Шаг 3. CD = 2 · 8 = 16.
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что углы BB₁C₁ и BCC₁ равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: оба угла дополняют угол A до 90°.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC, в △BB₁A: ∠BB₁C₁ = 90° − ∠A.
Шаг 2. CC₁ ⊥ AB, в △CC₁A: ∠BCC₁ = 90° − ∠A.
Шаг 3. ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁ = 90° − ∠A. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
