Алгебраические дроби: умножение и деление

Разминка: действия с дробями

\(\dfrac23\cdot\dfrac{9}{10}=\,?\) \(\dfrac45:\dfrac{8}{15}=\,?\) \(\left(\dfrac34\right)^2=\,?\)

Три числовых примера на те же правила, что будут сегодня с буквами. Обратите внимание класса: в первом выгодно сократить до умножения.

Ответы: \(\frac23\cdot\frac{9}{10}=\frac35\); \(\frac45:\frac{8}{15}=\frac45\cdot\frac{15}{8}=\frac32\); \(\left(\frac34\right)^2=\frac{9}{16}\).

Что спросить у класса

Что сократили в первом примере до умножения?
Какую дробь перевернули во втором?

1 из 12

Умножение дробей

\(\dfrac ab\cdot\dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}\)
\(\dfrac{3x}{y^2}\cdot\dfrac{y}{6x^2}=\dfrac{1}{2xy}\)

Числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\).

\(\frac{3x}{y^2}\cdot\frac{y}{6x^2}=\frac{3xy}{6x^2y^2}=\frac{1}{2xy}\). Общий знаменатель здесь не нужен — это не сложение.

Что спросить у класса

Нужен ли общий знаменатель при умножении?
На что сократили \(3xy\) и \(6x^2y^2\)?

2 из 12

Сокращать до перемножения

\(\dfrac{x^2-4}{3x}\cdot\dfrac{6x^2}{x+2}=\dfrac{(x-2)(x+2)\cdot6x^2}{3x(x+2)}\)
\(=2x(x-2)\)

Перемножать скобки — лишняя работа. Сначала раскладываем всё на множители и записываем под одной чертой, потом сокращаем.

\((x+2)\) уходит, 6 с 3 дают 2, \(x^2\) с \(x\) дают \(x\): остаётся \(2x(x-2)\).

Что спросить у класса

Почему скобки не перемножают сразу?
Что осталось от \(x^2\) и \(x\) после сокращения?

3 из 12

Деление дробей

\(\dfrac ab:\dfrac cd=\dfrac ab\cdot\dfrac dc\)
\(\dfrac{5a}{b}:\dfrac{10a^2}{b^3}=\dfrac{b^2}{2a}\)

Делить на дробь — значит умножать на перевёрнутую дробь. Переворачивают только делитель, то есть вторую дробь.

\(\frac{5a}{b}:\frac{10a^2}{b^3}=\frac{5a}{b}\cdot\frac{b^3}{10a^2}=\frac{b^2}{2a}\).

Что спросить у класса

Какую из двух дробей переворачивают?
Почему в ответе \(b^2\)?

4 из 12

Деление с многочленами

\(\dfrac{m^2-1}{m}:\dfrac{m+1}{m^2}=\dfrac{(m-1)(m+1)}{m}\cdot\dfrac{m^2}{m+1}\)
\(=m(m-1)\)

Порядок тот же: перевернули делитель, разложили, сократили.

\(m^2-1=(m-1)(m+1)\). После переворота \((m+1)\) оказывается и сверху, и снизу, а \(m^2\) делится на \(m\): остаётся \(m(m-1)\).

Что спросить у класса

На каком шаге переворачивают дробь?
Что сократилось со скобкой (m + 1)?

5 из 12

Дробь в степени

\(\left(\dfrac{2a}{b^2}\right)^3=\dfrac{8a^3}{b^6}\)
\(\left(-\dfrac xy\right)^2=\dfrac{x^2}{y^2}\)

В степень возводят и числитель, и знаменатель: \(\left(\frac{2a}{b^2}\right)^3=\frac{8a^3}{b^6}\).

Минус перед дробью в чётной степени исчезает, в нечётной — остаётся: \(\left(-\frac{x}{y}\right)^2=\frac{x^2}{y^2}\), а \(\left(-\frac{x}{y}\right)^3=-\frac{x^3}{y^3}\).

Что спросить у класса

Во что превращается \(b^2\) в кубе?
Когда минус перед дробью сохраняется?

6 из 12

Целое выражение как множитель

\((a+b)\cdot\dfrac{a}{a^2-b^2}=\dfrac{(a+b)\cdot a}{(a-b)(a+b)}\)
\(=\dfrac{a}{a-b}\)

Целое выражение пишем как дробь со знаменателем 1 — и умножаем по обычному правилу.

\(\frac{a+b}{1}\cdot\frac{a}{(a-b)(a+b)}=\frac{a}{a-b}\): скобка \((a+b)\) сократилась.

Что спросить у класса

Какой знаменатель у целого выражения?
Какая формула помогла разложить \(a^2-b^2\)?

7 из 12

Лишний запрет при делении

\(\dfrac1x:\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{1}{x-2}\)
\(x\ne0\) и ещё \(x\ne2\)

При делении запрещено не только то, что обнуляет знаменатели, но и то, что обнуляет весь делитель — на ноль делить нельзя.

В \(\frac{1}{x}:\frac{x-2}{x}\) нужно \(x\ne0\), а ещё \(x\ne2\): при \(x=2\) делитель равен нулю. После упрощения \(\frac{1}{x-2}\) запрет \(x\ne0\) «спрятался», но остался.

Что спросить у класса

Почему при \(x=2\) выражение не существует?
Какой запрет пропал из ответа, но остался в силе?

8 из 12

Порядок действий в примере

\(\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right):\dfrac{b-a}{ab}\)
скобка: \(\dfrac{b-a}{ab}\)
делим: \(=1\)

В смешанном примере сначала скобки, потом умножение и деление. Каждое действие — отдельной строкой, иначе теряются знаки.

\(\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}\), и дальше \(\frac{b-a}{ab}:\frac{b-a}{ab}=1\) при \(a\ne b\), \(a,b\ne0\).

Что спросить у класса

С какого действия начинаем?
При каких a и b ответ неверен?

9 из 12

Задача как в ОГЭ

\(\dfrac{a^2-4b^2}{ab}:\dfrac{a-2b}{b}\) при \(a=4,\ b=3\)
\(=\dfrac{a+2b}{a}=\dfrac{10}{4}=2{,}5\)

Найдите значение выражения \(\frac{a^2-4b^2}{ab}:\frac{a-2b}{b}\) при \(a=4\), \(b=3\).

\(\frac{(a-2b)(a+2b)}{ab}\cdot\frac{b}{a-2b}=\frac{a+2b}{a}\). Подставляем: \(\frac{4+6}{4}=2{,}5\). Без упрощения пришлось бы считать дроби с числами 7, 12 и −2 — долго и с риском ошибки.

Что спросить у класса

Какая формула разложила \(a^2-4b^2\)?
Сколько вычислений сэкономило упрощение?

10 из 12

Самостоятельная работа

выполните действие:
1) \(\dfrac{4a^2}{b}\cdot\dfrac{b^3}{12a}\) 2) \(\dfrac{x^2-9}{x}\cdot\dfrac{2x^2}{x+3}\) 3) \(\dfrac{7m}{n^2}:\dfrac{14m^3}{n}\)
4) \(\dfrac{a^2-1}{a}:\dfrac{a-1}{a^2}\) 5) \(\left(-\dfrac{3x}{y^2}\right)^3\) 6) \(\dfrac{y^2-4}{y+3}:\dfrac{y-2}{y^2-9}\)

Умножение, деление, степень и в конце — пример, где разложить надо всё. Правило для класса: сначала перевернуть делитель, потом разложить, потом сокращать.

Ответы для учителя: 1) \(\frac{ab^2}{3}\); 2) \(2x(x-3)\); 3) \(\frac{1}{2m^2n}\); 4) \(a(a+1)\); 5) \(-\frac{27x^3}{y^6}\); 6) \((y+2)(y-3)\).

Что спросить у класса

Почему в пятом ответе минус сохранился?
Какие две формулы понадобились в шестом?

11 из 12

Частые ошибки

перевернули делимое вместо делителя ✗
сократили через знак «+» ✗
потеряли запрет от делителя ✗

Переворачивают первую дробь — ответ получается перевёрнутым. Сокращают слагаемые, как в прошлых уроках. И забывают, что делитель не может быть нулём.

Совет классу: после переворота делителя вслух сказать «теперь умножение» — это снимает большую часть ошибок первого типа.

Что спросить у класса

Что будет с ответом, если перевернуть не ту дробь?
Какие значения запрещает делитель?

12 из 12

Алгебраические дроби: умножение и деление

Разминка: действия с дробями

Умножение дробей

Сокращать до перемножения

Деление дробей

Деление с многочленами

Дробь в степени

Целое выражение как множитель

Лишний запрет при делении

Порядок действий в примере

Задача как в ОГЭ

Самостоятельная работа

Частые ошибки

Выдайте эту тему классу домашним заданием