Покажите класс окно, стакан или ведро в разрезе: две стороны параллельны, две другие — нет. Это и есть трапеция, и она встречается чаще, чем кажется: крыша, насыпь дороги, абажур лампы.
Сегодня научимся называть её части и находить углы. Отдельный урок про среднюю линию и площадь будет дальше.
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны называют основаниями, две другие — боковыми. Оснований всегда два: верхнее и нижнее — и оба основания, а не только нижнее.
Высота — перпендикуляр, опущенный с одного основания на другое. Её можно провести из любой точки, длина везде одна и та же.
Параллельны только основания — BC и AD, их отмечают одинаковыми стрелками. AB и CD — боковые стороны, они не параллельны. Высота BH проведена от вершины к другому основанию и перпендикулярна ему.
Равнобокая (равнобедренная) трапеция — боковые стороны равны. У неё равны и углы при каждом основании, и диагонали.
Прямоугольная трапеция — одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Эта сторона одновременно и высота, считать ничего не нужно.
Остальные трапеции называют произвольными: никаких дополнительных свойств у них нет.
У равнобокой боковые стороны равны — и тогда равны углы при каждом основании и равны диагонали. У прямоугольной одна боковая сторона перпендикулярна основаниям: она же и высота.
Основания параллельны, а боковая сторона пересекает их обе — значит, она секущая. Углы при одной боковой стороне оказываются внутренними односторонними, а их сумма равна \(180^\circ\).
Отсюда правило для задач: зная один угол, второй при той же боковой стороне находим вычитанием из \(180^\circ\).
Осторожно: складывать нужно углы при боковой стороне, а не при основании. Углы при основании равны только у равнобокой трапеции.
Основания параллельны, а боковая сторона AB пересекает их обоих — это секущая. Углы A и B — внутренние односторонние, поэтому их сумма равна 180°. То же верно и для пары C и D при второй боковой стороне.
Задача. В равнобокой трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) угол \(A\) равен \(58^\circ\). Найдите остальные углы.
Трапеция равнобокая, поэтому углы при нижнем основании равны: \(\angle D=\angle A=58^\circ\).
Углы при боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\): \(\angle B=180^\circ-58^\circ=122^\circ\), и так же \(\angle C=122^\circ\).
Проверка: \(58+58+122+122=360^\circ\) — сумма углов четырёхугольника сошлась.
Три ошибки, которые встречаются в каждой работе:
Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.
Задачи с проверкой ответа и разбором ошибок — закрепить урок самостоятельно.