Трапеция

Где мы её уже видели

Покажите класс окно, стакан или ведро в разрезе: две стороны параллельны, две другие — нет. Это и есть трапеция, и она встречается чаще, чем кажется: крыша, насыпь дороги, абажур лампы.

Сегодня научимся называть её части и находить углы. Отдельный урок про среднюю линию и площадь будет дальше.

Трапеция и её части

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны называют основаниями, две другие — боковыми. Оснований всегда два: верхнее и нижнее — и оба основания, а не только нижнее.

Высота — перпендикуляр, опущенный с одного основания на другое. Её можно провести из любой точки, длина везде одна и та же.

Виды трапеций

Равнобокая (равнобедренная) трапеция — боковые стороны равны. У неё равны и углы при каждом основании, и диагонали.

Прямоугольная трапеция — одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Эта сторона одновременно и высота, считать ничего не нужно.

Остальные трапеции называют произвольными: никаких дополнительных свойств у них нет.

Углы при боковой стороне

Основания параллельны, а боковая сторона пересекает их обе — значит, она секущая. Углы при одной боковой стороне оказываются внутренними односторонними, а их сумма равна \(180^\circ\).

Отсюда правило для задач: зная один угол, второй при той же боковой стороне находим вычитанием из \(180^\circ\).

Осторожно: складывать нужно углы при боковой стороне, а не при основании. Углы при основании равны только у равнобокой трапеции.

Разбираем у доски

Задача. В равнобокой трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) угол \(A\) равен \(58^\circ\). Найдите остальные углы.

Трапеция равнобокая, поэтому углы при нижнем основании равны: \(\angle D=\angle A=58^\circ\).

Углы при боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\): \(\angle B=180^\circ-58^\circ=122^\circ\), и так же \(\angle C=122^\circ\).

Проверка: \(58+58+122+122=360^\circ\) — сумма углов четырёхугольника сошлась.

Где обычно ошибаются

Три ошибки, которые встречаются в каждой работе:

• считают основанием только нижнюю сторону — оснований два;
• берут углы при основании равными у любой трапеции — это свойство только равнобокой;
• принимают боковую сторону за высоту — так бывает лишь у прямоугольной трапеции.

Проверьте себя

Три вопроса по уроку — с объяснением к каждому ответу.

Главное

• Основания трапеции параллельны, боковые стороны — нет.
• У равнобокой трапеции равны боковые стороны, углы при основании и диагонали.
• Сумма углов при боковой стороне равна 180°.