Четырёхугольники: параллелограмм и его родня — прямоугольник, ромб, квадрат — и трапеция. Что у кого есть и как это доказать.
Все свойства четырёхугольников доказываются через треугольники и параллельные прямые. Проверим, что эти инструменты под рукой.
Ответы: 180°; равны; три признака — по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам.
Четырёхугольники удобно представлять семейным деревом. Каждый следующий наследует все свойства предыдущего и добавляет свои.
Квадрат — одновременно прямоугольник и ромб, поэтому у него есть свойства обоих. Трапеция в семью параллелограммов не входит: у неё параллельна только одна пара сторон.
Каждый следующий наследует все свойства родителя. Квадрат — и прямоугольник, и ромб. Трапеция в семью параллелограммов не входит.
Проведём диагональ — четырёхугольник распадётся на два треугольника. Углы треугольников вместе составляют углы четырёхугольника.
Значит, сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна \(180^\circ+180^\circ=360^\circ\). Три угла известны — четвёртый считаем.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Диагональ \(AC\) делит его на треугольники \(ABC\) и \(CDA\), равные по стороне и двум прилежащим углам (накрест лежащие). Отсюда: противоположные стороны равны, противоположные углы равны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Противоположные стороны параллельны и равны. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC (одна чёрточка), BO = OD (две). Но сами диагонали друг другу не равны.
Углы, прилежащие к одной стороне, — односторонние при параллельных прямых, их сумма \(180^\circ\).
Поэтому по одному углу находятся все четыре: если \(\angle A=65^\circ\), то \(\angle B=115^\circ\), а противоположные им равны.
Чтобы доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, хватает одного признака: две противоположные стороны равны и параллельны; противоположные стороны попарно равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Признаки — обратные свойствам. В задачах на доказательство это главный инструмент.
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые. Все свойства параллелограмма у него есть.
Добавляется одно: диагонали равны. Треугольники \(ABD\) и \(DCA\) равны по двум катетам. Значит, точка пересечения диагоналей одинаково удалена от всех вершин.
Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
Его диагонали перпендикулярны и делят углы пополам: треугольник \(ABD\) равнобедренный, а медиана \(AO\) в нём одновременно биссектриса и высота — это мы знаем с 7 класса.
Квадрат — прямоугольник с равными сторонами, он же ромб с прямыми углами. У него все свойства сразу.
Диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам и делят углы на два по \(45^\circ\).
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны — основания, остальные — боковые.
Углы при одной боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\). В равнобедренной трапеции ещё равны углы при каждом основании и равны диагонали.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник — это сюжет нескольких задач ОГЭ.
\(\angle BAE=\angle EAD\) (биссектриса), \(\angle EAD=\angle BEA\) (накрест лежащие). Значит, \(\angle BAE=\angle BEA\), треугольник \(ABE\) равнобедренный, \(BE=AB=6\), а \(EC=10-6=4\).
Свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, трапеции и задача с биссектрисой. К каждому заданию — чертёж в тетради, без него не решаем.
Ответы для учителя: 1) 142°, 38°, 142°; 2) 12 и 16; 3) 7; 4) 8 — треугольник с углом 60° между сторонами 8 равносторонний; 5) 70°, 110°, 110°; 6) 26.
Путают свойства родственников: равенство диагоналей — у прямоугольника, перпендикулярность — у ромба, а у просто параллелограмма ни того, ни другого.
Помогает дерево из второго шага: прежде чем применить свойство, спросить себя, у кого из семьи оно есть.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.