Загрузка заданий...

Вариант 1004 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	санузел	кладовая	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: санузел — 7, кладовая — 1, спальня — 8, гостиная — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: санузел, кладовая, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 7185.

Ответ: 7185

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 50 см продаётся в упаковках по 7 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

Решение

По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,5 = 0,1 кв. м.

Нужно элементов: 36 / 0,1 = 360.

В одной упаковке 7 штук, значит понадобится 52 упаковки.

Ответ: 52.

Ответ: 52

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кухни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 72 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.

Значит, площадь равна 72 · 0,25 = 18 кв. м.

Ответ: 18.

Ответ: 18

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади санузла?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 36 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 36) / 36) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

Ответ: 100

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «500»	600 руб. за 500 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «1000»	820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	900 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:

План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.

План «1000»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 900 руб.

Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.

Ответ: 820.

Ответ: 820

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$2 + \frac{9}{5} + \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $2 + \frac{9}{5} + \frac{1}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(2) + \frac{9}{5} = 3,8$.

Шаг 2: $(3,8) + \frac{1}{5} = 4$.

Получили результат $4$.

Ответ: $4$.

Ответ: 4

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

-a > -7

-a > -6

-a < -7

Решение

По чертежу видно, что 6 < a < 7.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) -a > -7 ⇔ a < 7 — верно.

3) -a > -6 ⇔ a < 6 — неверно.

4) -a < -7 ⇔ a > 7 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(5\sqrt{7})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (5√7)².

Используем свойство степени произведения: (5√7)² = 5² · (√7)².

Получаем 25 · 7 = 175.

Ответ: 175.

Ответ: 175

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-7x - 5)}{6} - \frac{(8x + 9)}{5} + 4x = 6$$

Решение

Решим уравнение: (-7x - 5)/6 - (8x + 9)/5 + 4x = 6

Домножим обе части на НОК знаменателей 6 и 5, то есть на 30.

Получим:

(-35x - 25) - (48x + 54) + 120x = 180

Приведём подобные слагаемые:

37x - 79 = 180

Перенесём число в правую часть:

37x = 259

Разделим обе части на 37:

x = 259 / 37

x = 7

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Решение

Всего исходов: 32. Вероятность события $A \cap B$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=2/32=0,0625$.

Ответ: 0,0625

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = x$

2) $y = 2x$

3) $y = 3x - 3$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 7, sinα = 0,091, а S = 3,5.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·3,5/(7·0,091) = 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 49 > 0

x² - 49 < 0

x² - 49 ≥ 0

x² - 49 ≤ 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 18 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 18, d = -5.

Последний положительный член прогрессии равен 3, значит секунд движения до полной остановки было 4.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 4·(18 + 3)/2 = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 56° и BM = AM = MC.

Решение

Из условия BM = AM = MC.

Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.

Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 56°.

Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·56° = 68°.

Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 68° = 112°.

В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.

Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 112° = 180°.

Отсюда x = 90° - 56° = 34°.

Ответ: 34.

Ответ: 34

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 12,5. Найдите AC, если BC = 24.

Решение

Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.

Поэтому AB = 2R = 25.

Тогда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.

По теореме Пифагора находим неизвестный катет.

Ответ: 7.

Ответ: 7

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 118°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Решение

Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.

Следовательно, искомый угол равен 118° / 2 = 59°.

Ответ: 59.

Ответ: 59

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-13}{(x-4)^2-6}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-13<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x-4)^2-6<0$.

Шаг 2. $(x-4)^2<6$.

Шаг 3. $-\sqrt{6}<x-4<\sqrt{6}$.

Шаг 4. Прибавляем 4: $4-\sqrt{6}<x<4+\sqrt{6}$.

Ответ: $(4-\sqrt{6};\; 4+\sqrt{6})$.

Правильный ответ: (4-√6;4+√6)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два автомобиля одновременно отправляются в 560-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.

Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 10) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 1 ч раньше, значит его время меньше:

560/x − 560/(x+10) = 1.

Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+10):

560·(x+10) − 560·x = 1·x·(x+10).

Шаг 4. Левая часть упрощается до 560·10 = 5600. Получаем:

1x² + 10x − 5600 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 10² + 4·1·5600 = 22500, √D = 150.

x = (−10 + 150) / (2·1) = 70 (берём положительный корень).

Шаг 6. Скорость первого: 70 + 10 = 80 км/ч.

Ответ: 80.

Правильный ответ: 80

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 7\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 7.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 7.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 7.

Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 8² + (AB/2)² = 8² + 6² = 100. R = 10.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 6 от центра:

(CD/2)² = R² − 6² = 100 − 36 = 64.

CD/2 = 8.

Шаг 3. CD = 2 · 8 = 16.

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 47° и 43°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 1. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 47° + 43° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 16 и 1.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 16 и (b-a)/2 = 1 (или наоборот).

a+b = 32, b-a = 2.

b = 17, a = 15.

Ответ: 15; 17.

Правильный ответ: 15; 17

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.