Загрузка заданий...
Вариант 1008 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
Ответ: 2413
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
Ответ: 2
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
Ответ: 1247.4
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
Ответ: 840
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
Ответ: 1250
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,045 : 0,3 \cdot 50$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,045 : 0,3 \cdot 50\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,045) : 0,3 = 0,15\).
Шаг 2: \((0,15) \cdot 50 = 7,5\).
Ответ: \(7,5\).
Ответ: 7,5
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число \(\frac{7}{3}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{7}{3}\) по своему значению совпадает с точкой D.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$10^{-2} \cdot (10^2)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 10^(-2) · (10^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (10^2)^2 = 10^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 10^-2 · 10^4 = 10^2.
Получаем 10^2 = 100.
Ответ: 100.
Ответ: 100
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x + 7y = -7 \\ 5x + 3y = -47 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-3x + 7y = -7
5x + 3y = -47
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе — на -3.
Получим:
\((-3x + 7y = -7) \cdot 5\): -15x + 35y = -35
\((5x + 3y = -47) \cdot -3\): -15x - 9y = 141
Вычтем второе уравнение из первого:
44y = -176
y = -176 / 44 = -4
Подставим y = -4 в первое уравнение:
-3x + 7y = -7
Получаем x = -7.
Ответ: (-7;-4)
Ответ: -7;-4
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 33 чёрных, 3 жёлтых и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 3 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{3}{40}\) = 0,075.
Ответ: 0,075.
Ответ: 0,075
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 7 колец.
Решение
Подставим n = 7 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·7 = 34700.
Ответ: 34 700.
Ответ: 34 700
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 0,7 \leqslant 3,1 \\ 3x − 2 \geqslant -8 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-2;2,4]. Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 28 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 28, d = -5.
Последний положительный член прогрессии равен 3, значит секунд движения до полной остановки было 6.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 6·(28 + 3)/2 = 93.
Ответ: 93.
Ответ: 93
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 18 · 19 = 342/2 = 171.
Ответ: 171.
Ответ: 171
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 9, BC = 5, CD = 13. Найдите AD.
Решение
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
Для трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.
AD = AB + CD - BC = 9 + 13 - 5 = 17.
Ответ: 17.
Ответ: 17
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 24, AB = 18. Найдите AC.
Решение
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Значит, BD = 2·BO = 2·24 = 48.
Так как AC = BD, получаем:
AC = 48.
Ответ: 48.
Ответ: 48
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 9 и 3.
Искомое отношение площадей равно (9 / 3)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-2)^2<\sqrt{3}(x-2)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-2)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-2)^2-\sqrt{3}(x-2)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-2)\bigl[(x-2)-\sqrt{3}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=2\) и \(x=2+\sqrt{3}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((2;\; 2+\sqrt{3})\).
Правильный ответ: (2;2+√3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 285 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 34 км/ч, стоянка длится 19 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.
По течению: 34 + x. Против течения: 34 − x.
Шаг 2. Составляем уравнение:
285/(34+x) + 19 + 285/(34−x) = 36.
Шаг 3. Переносим стоянку: 285/(34+x) + 285/(34−x) = 17.
Шаг 4. Умножаем на (34+x)(34−x) = 1156−x²:
285(34−x) + 285(34+x) = 17(1156−x²).
Шаг 5. Левая часть: 2·285·34 = 19380. Квадратное уравнение относительно x.
Шаг 6. Решение: x = 4.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{15}{2}\) + 19 + \(\frac{19}{2}\) = 36. ✓
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=5-\dfrac{x+5}{x^2+5x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=5-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-5 \).
У функции \( y=5-\frac1x \) нет значений \( y=5 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=5,2 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=5; 5,2 \).
Ответ: 5; 5,2.
Правильный ответ: 5; 5,2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 12, DC = 36, AC = 48.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.
Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = \(\frac{12}{36}\) = \(\frac{1}{3}\).
Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 3.
Одна «часть» = AC / (3+1) = 48 / 4 = 12.
Шаг 3. MC = 3 · 12 = 36.
Ответ: 36.
Правильный ответ: 36
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 9. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 53° + 37° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 11 и 9.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 11 и (b-a)/2 = 9 (или наоборот).
a+b = 22, b-a = 18.
b = 20, a = 2.
Ответ: 2; 20.
Правильный ответ: 2; 20
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.