Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/60 R15.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 185.
Ответ: 185
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/70 R14?
Решение
В маркировке 165/70 R14 ширина шины равна 165 мм, а высота боковины составляет 70% от ширины. H = 165 · 70 / 100 = 115.5 мм. Ответ: 115.5.
Ответ: 115.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/45 R16?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и нового колеса 195/45 R16. Ответ: 9.1.
Ответ: 9.1
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/60 R15 получаем диаметр 591 мм. Ответ: 591.
Ответ: 591
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и колеса 195/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.8.
Ответ: 0.8
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,1 + 0,3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,1 + 0,3\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,1) + 0,3 = 0,4\).
Ответ: \(0,4\).
Ответ: 0,4
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} > 0\)
2
-6 - a > 0
3
-a < 5
4
a + 6 > 0
Решение
По чертежу видно, что -6 < a < -5.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) -6 - a > 0 ⇔ a < -6 — неверно.
3) -a < 5 ⇔ a > -5 — неверно.
4) a + 6 > 0 ⇔ a > -6 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(2\sqrt{7})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (2√7)².
Используем свойство степени произведения: (2√7)² = 2² · (√7)².
Получаем 4 · 7 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-8}{x + 5} = -2$$
Решение
Решим уравнение: -8/(x + 5) = -2
Область допустимых значений: x != -5.
Умножим обе части уравнения на x + 5:
-8 = -2(x + 5)
Раскроем скобки:
-8 = -2x - 10
Перенесём число в левую часть:
2 = -2x
x = 2 / -2
x = -1
Проверка ОДЗ: x = -1, x != -5, условие выполняется.
Ответ: -1
Ответ: -1
10Статистика, вероятности1 балл
В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 67 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 80.
Благоприятных исходов: 13 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{13}{80}\) = 0,1625.
Ответ: 0,1625.
Ответ: 0,1625
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c < 0
Б) a > 0, c > 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.
Ответ: 312
12Расчёты по формулам1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 405 Вт, а сила тока равна 9 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 405/(9²) = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
6x - x2 ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 6x - x² = x(6 - x). Нули: 0 и 6. Верное решение: (-∞;0] ∪ [6;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 15 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 15, q = 3.
За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 15·3^5 = 3645 мг.
Ответ: 3645.
Ответ: 3645
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 14√3 · √3 / 2 = 14·3 / 2 = 21.
Ответ: 21.
Ответ: 21
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 83°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 70° - 83° = -13°.
Ответ: -13.
Ответ: -13
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Сторона квадрата равна 5√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 5√2 · √2 = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 4 и 10, высота равна 4.
S = (4 + 10) / 2 · 4 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.
3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
Ответ: 12.
Ответ: 12
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}6x^2+y=14,\\12x^2-y=4.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((6x^2+y)+(12x^2-y)=14+4\Rightarrow 18x^2=18\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=14-6x^2=14-6=8\).
Ответ: \((-1;\,8);\ (1;\,8)\).
Правильный ответ: (-1;8);(1;8)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные — 26%. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 72% воды, значит сухого вещества 28%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 222 кг свежих фруктов:
222 · 28/100 = 62,16 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 26% воды, значит сухого вещества 74%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,74·x = 62,16.
x = 62,16 / 0,74 = 84 кг.
Ответ: 84.
Правильный ответ: 84
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 2. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 2.
Проверка: при m = 2 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 15, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 3 раза меньше AB, то есть AB = 3·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 3 = 15 / 3 = 5.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.
Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):
∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.
Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 4. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 77° + 13° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 6 и 4.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 6 и (b-a)/2 = 4 (или наоборот).
