Загрузка заданий...

Вариант 1029 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{10} \cdot \frac{3}{2} + 0,6$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{10} \cdot \frac{3}{2} + 0,6$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{10}) \cdot \frac{3}{2} = 0,45$.

Шаг 2: $(0,45) + 0,6 = 1,05$.

Получили результат $1,05$.

Ответ: $1,05$.

Ответ: 1,05

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{12}{7}$, 2,536, $\sqrt{12}$, $\frac{79}{16}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{12}{7}$

2,536

$\sqrt{12}$

$\frac{79}{16}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 3 и 4.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{12}{7}$ ≈ 1,7143

2) 2,536 ≈ 2,536

3) $\sqrt{12}$ ≈ 3,4641

4) $\frac{79}{16}$ ≈ 4,9375

Точке A соответствует вариант 3.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(4\sqrt{2})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (4√2)².

Используем свойство степени произведения: (4√2)² = 4² · (√2)².

Получаем 16 · 2 = 32.

Ответ: 32.

Ответ: 32

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{4}{x - 4} = 2$$

Решение

Решим уравнение: 4/(x - 4) = 2

Область допустимых значений: x != 4.

Умножим обе части уравнения на x - 4:

4 = 2(x - 4)

Раскроем скобки:

4 = 2x - 8

Перенесём число в левую часть:

12 = 2x

x = 12 / 2

x = 6

Проверка ОДЗ: x = 6, x != 4, условие выполняется.

Ответ: 6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 50 билетов, Яша не выучил 13 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 37 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{37}{50}$ = 0,74.

Ответ: 0,74.

Ответ: 0,74

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -\dfrac{6}{x}$

Б) $y = -3x^2 + 9x - 4$

В) $y = \dfrac{2}{3}x - 5$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -103 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -103 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-103 − 32)/9 = -75.

Ответ: -75.

Ответ: -75

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

3x - x² ≥ 0

Решение

Разложим: 3x - x² = x(3 - x). Нули: 0 и 3. Верное решение: [0;3]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 3,6 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 8 · 23 = 184/2 = 92.

Ответ: 92.

Ответ: 92

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 79°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.

Поэтому ∠B = 180° - ∠A? Нет, для оснований AD и BC углы A и D при одном основании, B и C — при другом. А в равнобедренной трапеции ∠A = ∠D и ∠B = ∠C, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.

Следовательно, ∠B = 180° - 79° = 101°.

Ответ: 101.

Ответ: 101

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ BD делит угол B на два данных угла.

Угол B равен 65° + 80° = 145°.

Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 145° = 35°.

Ответ: 35.

Ответ: 35

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 4 и 6.

m = (4 + 6) / 2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(5-x)(x^2-25)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить через $(x-5)$.

Шаг 1. $x^2-25=(x-5)(x+5)$ и $5-x=-(x-5)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(5-x)(x^2-25)=-(x-5)^2(x+5)$.

Шаг 3. Неравенство: $-(x-5)^2(x+5)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$: $(x-5)^2(x+5)\le0$.

Шаг 5. Анализ: $(x-5)^2\ge0$. Произведение $\le0$ когда:

а) $x+5\le0\Rightarrow x\le-5$; б) $x=5$ (квадрат обнуляется).

Ответ: $(-\infty;\;-5]\cup\{5\}$.

Правильный ответ: (-∞;-5]∪{5}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 5) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 180/x ч, вторым — 180/(x−5) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:

180/(x−5) − 180/x = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x−5):

180·x − 180·(x−5) = 3·x·(x−5).

900 = 3·x² − 15·x.

3x² − 15x − 900 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 15² + 4·3·900 = 225 + 10800 = 11025, √D = 105.

x = (15 + 105) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 180/20 = 9 ч, второй — 180/15 = 12 ч.

12 − 9 = 3 = 3. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+0,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+0,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-1,25; -1; 1 $.

Ответ: $ -1,25; -1; 1 $.

Правильный ответ: -1,25; -1; 1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 33, BC = 24, CF : DF = 2 : 1.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 2:1 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 2:1 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (1·24 + 2·33) / (2+1).

Шаг 3. EF = (24 + 66) / 3 = 90 / 3 = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 4.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 4.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 4 + 4 = 8.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 19 · 8 = 152.

Ответ: 152.

Правильный ответ: 152

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.