Загрузка заданий...

Вариант 1051 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.

Стоимость (руб.)	15 000	19 500	18 000
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.

Ответ: 321

2 Задание 2 1 балл

Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.

Ответ: 7.7

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.

Ответ: 4500

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.

Ответ: 17550

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.

По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.

Ответ: 50.

Ответ: 50

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,175 + 0,06$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,175 + 0,06$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,175) + 0,06 = 0,235$.

Ответ: $0,235$.

Ответ: 0,235

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-3,093

0,849

$\frac{\sqrt{21}}{2}$

$\frac{46}{15}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -4 и -3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -3,093 ≈ -3,093

2) 0,849 ≈ 0,849

3) $\frac{\sqrt{21}}{2}$ ≈ 2,2913

4) $\frac{46}{15}$ ≈ 3,0667

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(2\sqrt{3})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (2√3)².

Используем свойство степени произведения: (2√3)² = 2² · (√3)².

Получаем 4 · 3 = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 2 + 2(8x - 1) = -8x + 168

Решение

Решим уравнение: 2 + 2(8x - 1) = -8x + 168

Раскроем скобки:

2 + 2(8x - 1) = -8x + 168

2 + 16x - 2 = -8x + 168

Приведём подобные слагаемые в левой части:

16x + 0 = -8x + 168

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

24x = 168

Разделим обе части на 24:

x = 168 / 24

x = 7

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 7 чёрных, 5 жёлтых и 28 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 5 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{5}{40}$ = 0,125.

Ответ: 0,125.

Ответ: 0,125

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k < 0, b > 0

2) k > 0, b > 0

3) k > 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 25 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = 25 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(25) + 32 = 77.

Ответ: 77.

Ответ: 77

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 64 > 0

x² - 64 < 0

x² - 64 ≥ 0

x² - 64 ≤ 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,6 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,2 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,6, d = 0,2, n = 7.

Сумма первых 7 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 8,4.

Ответ: 8,4.

Ответ: 8,4

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 3/5, BC = 30. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.

Значит, AC = BC · tg B = 30 · $\frac{3}{5}$ = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 69°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 69° = 21°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 21°.

Ответ: 21.

Ответ: 21

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 24, BD = 28, AB = 6. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 28 / 2 = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 3 и 1.

Искомое отношение площадей равно (3 / 1)² = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: тангенс острого угла может быть больше 1.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-2)^4-(x-2)^2-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x-2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2-t-6=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-3)(t+2)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-2$.

Шаг 3. Берём только $t=3$.

Шаг 4. Решаем $(x-2)^2=3$:

$x-2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $2-\sqrt{3};\quad 2+\sqrt{3}$.

Правильный ответ: 2-√3;2+√3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 10) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 60/x ч, вторым — 60/(x−10) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:

60/(x−10) − 60/x = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x−10):

60·x − 60·(x−10) = 3·x·(x−10).

600 = 3·x² − 30·x.

3x² − 30x − 600 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 30² + 4·3·600 = 900 + 7200 = 8100, √D = 90.

x = (30 + 90) / (2·3) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — $\frac{60}{20}$ = 3 ч, второй — $\frac{60}{10}$ = 6 ч.

6 − 3 = 3 = 3. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{9x+1}{9x^2+1x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-1/9 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=-1/9 $, откуда $ k=81 $.

Ответ: 81.

Правильный ответ: 81

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(24² + 10²) = √676 = 26.

Ответ: 26.

Правильный ответ: 26

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 13, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 12 + 4... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 5, AB = 12, CD = 13, BC = 4.

Шаг 3. AD = BC + AB = 4 + 12 = 16.

S = (BC + AD)/2 · h = (4 + 16)/2 · 5 = 78.

Ответ: 78.

Правильный ответ: 78

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.