Загрузка заданий...

Вариант 1054 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 245/45 R18.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 265.

Ответ: 265

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 265/50 R17?

Решение

В маркировке 265/50 R17 ширина шины равна 265 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 265 · 50 / 100 = 132.5 мм. Ответ: 132.5.

Ответ: 132.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/35 R20?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и нового колеса 265/35 R20. Ответ: 15.8.

Ответ: 15.8

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 245/45 R18 получаем диаметр 677.7 мм. Ответ: 677.7.

Ответ: 677.7

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/45 R18? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и колеса 265/45 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.7.

Ответ: 2.7

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$7,5 - 0,625 - 0,4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $7,5 - 0,625 - 0,4$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(7,5) - 0,625 = 6,875$.

Шаг 2: $(6,875) - 0,4 = 6,475$.

Ответ: $6,475$.

Ответ: 6,475

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

3 - a < 0

$\frac{1}{a} < 0$

-a > -2

Решение

По чертежу видно, что 2 < a < 3.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — верно.

2) 3 - a < 0 ⇔ a > 3 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) -a > -2 ⇔ a < 2 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{80} + \sqrt{5})\sqrt{5}$$

Решение

Вычислим выражение: (√80 + √5)·√5.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √80 = 4√5, √5 = 1√5.

Тогда получаем (4√5 + 1√5)·√5 = 5√5·√5.

Так как √5·√5 = 5, имеем 5·5 = 25.

Ответ: 25.

Ответ: 25

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x - y = 24 \\ -5x - 5y = -55 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

6x - y = 24

-5x - 5y = -55

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -5, а второе — на 6.

Получим:

$(6x - y = 24) \cdot -5$: -30x + 5y = -120

$(-5x - 5y = -55) \cdot 6$: -30x - 30y = -330

Вычтем второе уравнение из первого:

35y = 210

y = 210 / 35 = 6

Подставим y = 6 в первое уравнение:

6x - y = 24

Получаем x = 5.

Ответ: (5;6)

Ответ: 5;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.15 и 0.85: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.85, по нижнему 0.85.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.15 · 0.85 = 0.1275.

Нижний путь: 0.85 · 0.85 = 0.7225.

Складываем: 0.1275 + 0.7225 = 0.85.

Ответ: 0,85

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 16 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.

Ответ: 271.

Ответ: 271

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² < 16

Решение

Из неравенства x² < 16 получаем границы x = ±4. Верное решение: (-4;4). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 9° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 7 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 9° C в минуту.

Через 7 минут изменение составит 9·7 = 63° C.

Итоговая температура: -7 - 63 = -70.

Ответ: -70.

Ответ: -70

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 11/15, AB = 75. Найдите BC.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.

Значит, BC = AB · cos B = 75 · $\frac{11}{15}$ = 55.

Ответ: 55.

Ответ: 55

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 18√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение

Для квадрата R = a√2 / 2.

Значит, a = R·√2 = 18√2 · √2 = 36.

Ответ: 36.

Ответ: 36

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Периметр ромба равен 12, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Сторона ромба равна 12 / 4 = 3.

Площадь ромба равна a²·sin α.

S = 3² · sin 30° = 3² · $\frac{1}{2}$ = 4,5.

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 4 и 6.

m = (4 + 6) / 2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все хорды одной окружности равны между собой.

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}3x^2-2x=y,\\3x-2=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: оба выражения равны $y$ — приравниваем их между собой.

Шаг 1. Из системы следует $3x^2-2x=3x-2$.

Шаг 2. Переносим всё в левую часть:

$3x^2-2x-3x+2=0\Rightarrow 3x^2-5x+2=0$.

Шаг 3. Дискриминант: $D=25-24=1$, $\sqrt{D}=1$.

$x_1=\dfrac{5+1}{6}=1,\quad x_2=\dfrac{5-1}{6}=\dfrac{2}{3}$.

Шаг 4. Находим $y$ для каждого $x$:

При $x=1$: $y=3\cdot1-2=1$.

При $x=\dfrac{2}{3}$: $y=3\cdot\dfrac{2}{3}-2=0$.

Ответ: $\left(\dfrac{2}{3};\,0\right);\ (1;\,1)$.

Правильный ответ: (2/3;0);(1;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 72 кг сухих фруктов:

72 · 84/100 = 60,48 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 79% воды, значит сухого вещества 21%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,21·x = 60,48.

x = 60,48 / 0,21 = 288 кг.

Ответ: 288.

Правильный ответ: 288

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+1)((x-2))}{2-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+1),\ x\ne 2 $.

После преобразования получаем параболу $ y=-(x^2+a) $ с выколотой точкой при $ x=2 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-2,5; -2; 2 $.

Ответ: $ -2,5; -2; 2 $.

Правильный ответ: -2,5; -2; 2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 1, AC = 5.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.

Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).

Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).

AB² + r² = AO² = (AC − r)².

1² + r² = (5 − r)².

1 + r² = 25 − 10r + r².

10r = 25 − 1 = 24.

r = $\frac{24}{10}$ = 2.4.

Шаг 3. D = 2r = $\frac{24}{5}$ = 4,8.

Ответ: 4,8.

Правильный ответ: 4,8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 63, BD = 21. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.

Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).

Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = $\frac{7}{21}$ = $\frac{1}{3}$, BD/AD = $\frac{21}{63}$ = $\frac{1}{3}$.

BD² = 21² = 441 = 7·63 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.

Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).

По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 40 + 16... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 9, AB = 40, CD = 41, BC = 16.

Шаг 3. AD = BC + AB = 16 + 40 = 56.

S = (BC + AD)/2 · h = (16 + 56)/2 · 9 = 820.

Ответ: 820.

Правильный ответ: 820

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.