Загрузка заданий...

Вариант 1068 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

Ответ: 2413

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

Ответ: 2

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

Ответ: 1247.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

Ответ: 1250

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,09 : 0,1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,09 : 0,1$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,09) : 0,1 = 0,9$.

Ответ: $0,9$.

Ответ: 0,9

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\sqrt{15}$. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\sqrt{15}$ по своему значению совпадает с точкой C.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(7\sqrt{2})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (7√2)².

Используем свойство степени произведения: (7√2)² = 7² · (√2)².

Получаем 49 · 2 = 98.

Ответ: 98.

Ответ: 98

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -4x + 4y = 44 \\ 2x - 7y = -32 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-4x + 4y = 44

2x - 7y = -32

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе — на -4.

Получим:

$(-4x + 4y = 44) \cdot 2$: -8x + 8y = 88

$(2x - 7y = -32) \cdot -4$: -8x + 28y = 128

Вычтем второе уравнение из первого:

-20y = -40

y = -40 / -20 = 2

Подставим y = 2 в первое уравнение:

-4x + 4y = 44

Получаем x = -9.

Ответ: (-9;2)

Ответ: -9;2

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 25 чашек: 16 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 9 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{9}{25}$ = 0,36.

Ответ: 0,36.

Ответ: 0,36

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -\dfrac{3}{4}x - 1$

Б) $y = -x^2 + 5$

В) $y = -\dfrac{12}{x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 167 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = 167 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(167 − 32)/9 = 75.

Ответ: 75.

Ответ: 75

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 4)(x - 8) ≤ 0

(8;+∞)

(-∞;8]

(-∞;-4) ∪ (8;+∞)

[-4;8]

Решение

Нули выражения: x = -4 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 8) <= 0 получаем решение [-4;8]. Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 22 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 22, d = 2.

Найдём 9-й член: a9 = a₁ + (9 - 1)·d = 22 + 8·2 = 38.

Ответ: 38.

Ответ: 38

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 9 и 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 9 · 6 = $\frac{54}{2}$ = 27.

Ответ: 27.

Ответ: 27

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 5√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

Значит, a = 3R / √3 = 3 · 5√3 / √3 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение

При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.

Следовательно, меньшее основание равно 7 - 3 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 8 и 10.

S = 8 · 10 / 2 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Вертикальные углы равны.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.

3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-2)^2<\sqrt{3}(x-2)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-2)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-2)^2-\sqrt{3}(x-2)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-2)\bigl[(x-2)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=2$ и $x=2+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(2;\; 2+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (2;2+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 90 кг получается раствор с концентрацией 42%:

48·x + 42·y = 90·0,42 = 37,8 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 40%:

(x + y)/2 = 0,40 ⟹ x + y = 0,80 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 0,80 − x. Подставляем в (1):

48·x + 42·(0,80 − x) = 37,8

48x + 33,6 − 42x = 37,8

6x = 4,2 ⟹ x = 0,70.

y = 0,80 − 0,70 = 0,10.

Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 42·0,10 = 4,2 кг.

Ответ: 4,2.

Правильный ответ: 4,2

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-8x+14,& x\ge 3,\\x-2,& x<3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {-2}∪(-1;1).

Ответ: {-2}∪(-1;1).

Правильный ответ: {-2}∪(-1;1)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 62° и 88°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.

Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 62° − 88° = 30°.

Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.

Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·13·($\frac{1}{2}$) = 13.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.

Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.

BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.

S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).

Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△AOD) (общую часть):

S(△AOB) = S(△COD). ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 28 и 4, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 15² = 225, AD·BC = 28·4 = 112.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.