Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 150 мин., 300 мин., 175 мин., 375 мин.
Исходящие вызовы
150 мин.
300 мин.
175 мин.
375 мин.
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3517.
Ответ: 3517
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в августе?
Решение
По условию и ключу источника расходы в августе составляют 425 руб. Ответ: 425.
Ответ: 425
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году расходы по тарифу составили ровно 350 рублей?
Решение
Ровно 350 рублей абонент платил в месяцы, когда не было доплат сверх пакетов. Таких месяцев четыре. Ответ: 4.
Ответ: 4
4Задание 41 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» выросла на 75% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
350 руб. — это 175% от платы 2018 года. Значит, плата 2018 года: 350 : 1,75 = 200 руб. Ответ: 200.
Ответ: 200
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
470 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
120 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
160 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф не выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
Ответ: 350
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -4x + y = 14 \\ -2x - 2y = 2 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-4x + y = 14
-2x - 2y = 2
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -2, а второе — на -4.
Получим:
\((-4x + y = 14) \cdot -2\): 8x - 2y = -28
\((-2x - 2y = 2) \cdot -4\): 8x + 8y = -8
Вычтем второе уравнение из первого:
-10y = -20
y = -20 / -10 = 2
Подставим y = 2 в первое уравнение:
-4x + y = 14
Получаем x = -3.
Ответ: (-3;2)
Ответ: -3;2
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cap \overline{B}\).
Решение
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,1.
Ответ: 0,1
Ответ: 0,1
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k < 0, b < 0
Б) k < 0, b > 0
В) k > 0, b < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 132.
Ответ: 132
12Расчёты по формулам1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 50 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = 50 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(50 − 32)/9 = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
x2 ≥ 49
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² >= 49 получаем границы x = ±7. Верное решение: (-∞;-7] ∪ [7;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -6° C.
Решение
Температура уменьшается равномерно на 5° C в минуту.
Через 4 минут изменение составит 5·4 = 20° C.
Итоговая температура: -6 - 20 = -26.
Ответ: -26.
Ответ: -26
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 14 · 31 = 434/2 = 217.
Ответ: 217.
Ответ: 217
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 6√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 5 и 8.
Больший катет равен 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
2
Все углы прямоугольника равны.
3
Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2+y=9,\\7x^2-y=1.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((3x^2+y)+(7x^2-y)=9+1\Rightarrow 10x^2=10\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=9-3x^2=9-3=6\).
Ответ: \((-1;\,6);\ (1;\,6)\).
Правильный ответ: (-1;6);(1;6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 79% воды, значит сухого вещества 21%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 288 кг свежих фруктов:
288 · 21/100 = 60,48 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 60,48.
x = 60,48 / 0,84 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}-x^2+2x+3,& x\ge -1,\\-x+1,& x<-1.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: [0;2]∪{4}.
Ответ: [0;2]∪{4}.
Правильный ответ: [0;2]∪{4}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 9, AC = 36.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 9 · 36 = 324.
Шаг 3. AB = √324 = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов A и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠D = 180° (смежные).
Значит в △K (треугольник при пересечении биссектрис) угол при K равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до K равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем K — середина BC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.
