Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
Номер печи
Тип
Объём помещения (куб. м)
Масса (кг)
Стоимость (руб.)
1
дровяная
8—12
40
18 000
2
дровяная
10—16
48
19 500
3
электрическая
9—15,5
15
15 000
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.
Стоимость (руб.)
15 000
19 500
18 000
Номер печи
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.
Ответ: 321
2Задание 21 балл
Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.
Ответ: 7.7
3Задание 31 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.
Ответ: 4500
4Задание 41 балл
На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.
Ответ: 17550
5Задание 51 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.
По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.
Ответ: 50.
Ответ: 50
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{4} - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{4} - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -5x + 2y = -36 \\ -6x - y = -50 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-5x + 2y = -36
-6x - y = -50
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на -5.
Получим:
\((-5x + 2y = -36) \cdot -6\): 30x - 12y = 216
\((-6x - y = -50) \cdot -5\): 30x + 5y = 250
Вычтем второе уравнение из первого:
-17y = -34
y = -34 / -17 = 2
Подставим y = 2 в первое уравнение:
-5x + 2y = -36
Получаем x = 8.
Ответ: (8;2)
Ответ: 8;2
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события B.
Решение
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события B: 4.
\(P=4/8=0,5\).
Ответ: 0,5
Ответ: 0,5
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -x^2 + 7x - 7\)
Б) \(y = -\dfrac{1}{5}x - 5\)
В) \(y = \dfrac{9}{x}\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1600 кг обладает кинетической энергией 180 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 180·1000 = 180 000 Дж.
v = √(2·180 000/1600) = 15.
Ответ: 15.
Ответ: 15
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
x2 < 9
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² < 9 получаем границы x = ±3. Верное решение: (-3;3). Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 60 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 13, q = 3.
За 60 минут пройдёт 3 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 13·3^3 = 351 мг.
Ответ: 351.
Ответ: 351
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 8 · 27 = 216/2 = 108.
Ответ: 108.
Ответ: 108
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 7, BC = 8, CD = 7. Найдите AD.
Решение
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
Для трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.
AD = AB + CD - BC = 7 + 7 - 8 = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Один из углов прямоугольной трапеции равен 139°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
В прямоугольной трапеции два угла по 90°, а два других supplementary.
Искомый угол равен 180° - 139° = 41°.
Ответ: 41.
Ответ: 41
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=4: t=(8−4)/(8−2)=\(\frac{2}{3}\). x_A=1+\(\frac{2}{3}\)·3=3, x_B=4+\(\frac{1}{3}\)·3=5. AB=5−3=2.
Ответ: 2.
Ответ: 2
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
2
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
3
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите уравнение: \((x-2)^4-(x-2)^2-6=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x-2)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2-t-6=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\).
Шаг 4. Решаем \((x-2)^2=3\):
\(x-2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(2-\sqrt{3};\quad 2+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: 2-√3;2+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 50 кг получается раствор с концентрацией 39%:
24·x + 26·y = 50·0,39 = 19,5 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 40%:
(x + y)/2 = 0,40 ⟹ x + y = 0,80 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,80 − x. Подставляем в (1):
24·x + 26·(0,80 − x) = 19,5
24x + 20,8 − 26x = 19,5
−2x = −1,3 ⟹ x = 0,65.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 24·0,65 = 15,6 кг.
Ответ: 15,6.
Правильный ответ: 15,6
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 5\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 5.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 5.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -5.
Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: -5.
Правильный ответ: -5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 27 и 120. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 48 и 24, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 13.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 13² = 169, AD·BC = 48·24 = 1152.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
