Загрузка заданий...

Вариант 1138 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

Ответ: 2413

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

Ответ: 2

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

Ответ: 1247.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

Ответ: 1250

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{2}{25} : 1,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{2}{25} : 1,25$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{2}{25}) : 1,25 = 0,064$.

Получили результат $0,064$.

Ответ: $0,064$.

Ответ: 0,064

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше -3,25, но меньше -0,46.
В ответе укажите номер правильного варианта.

2,24

$-\frac{31}{10}$

4,64

1,88

Решение

Сравним числа -3,25 и -0,46. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($-\frac{31}{10}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√7 - 5)(√7 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√7)² - 5² = 7 - 25 = -18.

Ответ: -18.

Ответ: -18

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -5x + 6y = 53 \\ 8x + 4y = -44 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-5x + 6y = 53

8x + 4y = -44

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на -5.

Получим:

$(-5x + 6y = 53) \cdot 8$: -40x + 48y = 424

$(8x + 4y = -44) \cdot -5$: -40x - 20y = 220

Вычтем второе уравнение из первого:

68y = 204

y = 204 / 68 = 3

Подставим y = 3 в первое уравнение:

-5x + 6y = 53

Получаем x = -7.

Ответ: (-7;3)

Ответ: -7;3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события A.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,65.

Ответ: 0,65

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1000 кг обладает кинетической энергией 98 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 98·1000 = 98 000 Дж.

v = √(2·98 000/1000) = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-9x > -7x + 5

(-∞;2,5)

(-∞;-2,5)

(-∞;0)

(0;+∞)

Решение

Решим неравенство: -9x > -7x + 5.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x < 5.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -2: x < -2,5.

Значит, x меньше -2,5.

Этому соответствует промежуток (-∞;-2,5).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 6 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 6, q = 3.

За 120 минут пройдёт 4 промежутков по 30 минут.

Получаем массу 6·3^4 = 486 мг.

Ответ: 486.

Ответ: 486

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 12, sin ∠ABC = 1/4. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 6 · 12 · $\frac{1}{4}$ = $\frac{72}{8}$ = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 32√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.

Если a = 32√2, то d = 32√2 · √2 = 64.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

R = d / 2 = 64 / 2 = 32.

Ответ: 32.

Ответ: 32

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 26, BD = 30, AB = 7. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 30 / 2 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 4, высота равна 5.

S = 4 · 5 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Диагонали ромба равны.

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}4x^2-3x=y,\\8x-6=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: оба выражения равны $y$ — приравниваем их.

Шаг 1. $4x^2-3x=8x-6$.

Шаг 2. Переносим влево: $4x^2-11x+6=0$.

Шаг 3. Разложим: $(4x-3)(x-2)=0$.

Корни: $x=\dfrac{3}{4}$ или $x=2$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{3}{4}$: $y=8\cdot\dfrac{3}{4}-6=0$.

При $x=2$: $y=8\cdot2-6=10$.

Ответ: $\left(\dfrac{3}{4};\,0\right);\ (2;\,10)$.

Правильный ответ: (3/4;0);(2;10)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два автомобиля одновременно отправляются в 880-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.

Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 30) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 3 ч раньше, значит его время меньше:

880/x − 880/(x+30) = 3.

Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+30):

880·(x+30) − 880·x = 3·x·(x+30).

Шаг 4. Левая часть упрощается до 880·30 = 26400. Получаем:

3x² + 90x − 26400 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 90² + 4·3·26400 = 324900, √D = 570.

x = (−90 + 570) / (2·3) = 80 (берём положительный корень).

Шаг 6. Скорость первого: 80 + 30 = 110 км/ч.

Ответ: 110.

Правильный ответ: 110

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| - 4\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x - 4.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x - 4.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -4. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -4.

Проверка: при m = -4 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -4.

Правильный ответ: -4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.

Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.

Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).

Шаг 2. По условию r = 14, диагональ = 56 = 4r.

Значит диагональ = 4·14, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.

Упрощая: cos(α/2) = 2·sin(α/2)·cos(α/2) ⟹ 1 = 2·sin(α/2), sin(α/2) = $\frac{1}{2}$, α/2 = 30°, α = 60°.

Шаг 3. Острый угол = 60°, тупой угол = 120°.

Ответ: 60°, 60°, 120°, 120°.

Правильный ответ: 60°, 60°, 120°, 120°

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 12 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 10 · 12 = 120.

BE = √120 = 2√6.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√6.

Ответ: 2√6.

Правильный ответ: 2√6

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.