Загрузка заданий...

Вариант 1161 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	яблони	теплица	гараж
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.

В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.

Получаем последовательность: 7352.

Ответ: 7352

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

На все дорожки нужно 25 плиток.

В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.

Ответ: 5.

Ответ: 5

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.

Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?

Решение

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.

Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	25 000 руб.	17 552 руб.	1,3 куб. м/ч	5,2 руб./куб. м
Электр. отопление	21 000 руб.	15 000 руб.	5,2 кВт	4,1 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.

Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.

Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.

Ответ: 450.

Ответ: 450

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{20} + \frac{3}{50} : 0,75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{20} + \frac{3}{50} : 0,75$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{50}) : 0,75 = 0,08$.

Шаг 2: $(\frac{1}{20}) + 0,08 = 0,13$.

Получили результат $0,13$.

Ответ: $0,13$.

Ответ: 0,13

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -5 и $-\frac{33}{10}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-1,125

4,125

$-\frac{3}{1}$

-4,7

Решение

Сравним числа -5 и $-\frac{33}{10}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-4,7) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(3\sqrt{11})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (3√11)².

Используем свойство степени произведения: (3√11)² = 3² · (√11)².

Получаем 9 · 11 = 99.

Ответ: 99.

Ответ: 99

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-9x - 6)}{5} - \frac{(-3x + 4)}{5} + 6x = 22$$

Решение

Решим уравнение: (-9x - 6)/5 - (-3x + 4)/5 + 6x = 22

Домножим обе части на НОК знаменателей 5 и 5, то есть на 5.

Получим:

(-9x - 6) - (-3x + 4) + 30x = 110

Приведём подобные слагаемые:

24x - 10 = 110

Перенесём число в правую часть:

24x = 120

Разделим обе части на 24:

x = 120 / 24

x = 5

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cup B$.

Решение

Всего исходов: 40. Вероятность события $A \cup B$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=22/40=0,55$.

Ответ: 0,55

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{1}{10x}$

Б) $y = \dfrac{4}{5}x + 2$

В) $y = -2x^2 - 6x + 1$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 10 колец.

Решение

Подставим n = 10 в формулу C = 6000 + 4100n.

C = 6000 + 4100·10 = 47000.

Ответ: 47 000.

Ответ: 47 000

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 9)(x - 8) ≤ 0

(-∞;-9] ∪ [8;+∞)

[-9;8]

(-9;8)

(-∞;-9)

Решение

Нули выражения: x = -9 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 8) <= 0 получаем решение [-9;8]. Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,6 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, AB = 10. Найдите sin B.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.

sin B = AC / AB = $\frac{6}{10}$ = 0,6.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 56°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

∠C = 180° - 56° = 124°.

Ответ: 124.

Ответ: 124

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 22, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 22 · $\frac{1}{2}$ = 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 6.

Средняя линия равна 6 / 2 = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+2)^4+(x+2)^2-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x+2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+t-12=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+4)(t-3)=0$.

Корни: $t_1=-4$, $t_2=3$.

Шаг 3. Берём только $t=3$ (так как $t\ge0$).

Шаг 4. Решаем $(x+2)^2=3$:

$x+2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=-2\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $-2-\sqrt{3};\quad -2+\sqrt{3}$.

Правильный ответ: -2-√3;-2+√3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два велосипедиста одновременно отправляются в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения.

Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 16) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 4 ч раньше:

105/x − 105/(x+16) = 4.

Шаг 3. Умножаем на x·(x+16):

105·16 = 4·x·(x+16).

Шаг 4. Квадратное уравнение: 4x² + 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. D = 30976, √D = 176.

x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (скорость второго).

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-10x+25,& x\ge 4,\\x-2,& x<4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪(1;2).

Ответ: {0}∪(1;2).

Правильный ответ: {0}∪(1;2)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 7, AC = 63.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 7 · 63 = 441.

Шаг 3. AB = √441 = 21.

Ответ: 21.

Правильный ответ: 21

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.

Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−12, 0), D = (12, 0) (|AD| = 24).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (24, h). На прямой BE точка E = (0, 24 − h), так как BE = 24.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{24}{4}$ = 18.

Шаг 5. AB = √(h² + (12)²) = √(324 + 144) = 6√13;

BC = 2·AB = 12√13; CA = 18√5.

Ответ: 6√13; 12√13; 18√5.

Правильный ответ: 6√13; 12√13; 18√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.