Загрузка заданий...
Вариант 118 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 14.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.
По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.
1
Задание 1
1 балл
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Населённые пункты | Старая | Николаево | Зябликово |
|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.
Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.
Следовательно, ответ: 432.
Ответ: 432
2
Задание 2
1 балл
Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?
Решение
По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.
От Осиновка до Старая: 16 клеток · 1 км = 16 км.
От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.
Складываем: 16 + 12 = 28 км.
Ответ: 28.
Ответ: 28
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.
Значит, катеты равны 12 км и 16 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.
Ответ: 20.
Ответ: 20
4
Задание 4
1 балл
Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?
Решение
По прямой расстояние равно 20 км.
Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 20 / 10 ч.
В минутах это 120 мин, то есть 120,0 мин.
Ответ: 120,0.
Ответ: 120,0
5
Задание 5
1 балл
| Наименование продукта | Осиновка | Николаево | Зябликово | Старая |
|---|---|---|---|---|
| Молоко (1 л) | 42 | 49 | 52 | 48 |
| Хлеб (1 батон) | 27 | 29 | 32 | 38 |
| Сыр «Российский» (1 кг) | 259 | 250 | 255 | 264 |
| Говядина (1 кг) | 328 | 318 | 324 | 319 |
| Картофель (1 кг) | 34 | 19 | 24 | 30 |
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Решение
Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:
Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216
Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147
Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199
Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.
Ответ: 1 147.
Ответ: 1147
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$8,75 - 0,01 : 0,125$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(8,75 - 0,01 : 0,125\).
Последовательно выполняем действия (вычитание, деление):
Шаг 1: \((8,75) - 0,01 = 8,74\).
Шаг 2: \((8,74) : 0,125 = 69,92\).
Ответ: \(69,92\).
Ответ: 69,92
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу \(\frac{-5}{2}\). Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{-5}{2}\) по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$5\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{11} \cdot \sqrt{33}$$
Решение
Вычислим выражение: 5√3 · 5√11 · √33.
Перемножим коэффициенты: 5 · 5 = 25.
Подкоренные выражения дают: √3 · √11 · √33 = √(3·11·33) = √(1089) = 33.
Тогда всё выражение равно 25 · 33 = 825.
Ответ: 825.
Ответ: 825
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 3x - 40 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 3x - 40 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -3, c = -40.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -3² - 4·1·-40 = 169.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (3 - √169) / 2 = -5
x₂ = (3 + √169) / 2 = 8
Ответ: -5;8
Ответ: -5;8
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 5 чёрных, 4 жёлтых и 11 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 20.
Благоприятных исходов: 4 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{4}{20}\) = 0,2.
Ответ: 0,2.
Ответ: 0,2
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) y = 2x + 2
Б) y = -1x + 2
В) y = -1x
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 321.
Ответ: 321
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.
Решение
Подставим t = 15 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(15 − 5) = 260.
Ответ: 260.
Ответ: 260
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 5)(x - 6) < 0
Решение
Нули выражения: x = -5 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 6) < 0 получаем решение (-5;6). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 400, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
Ответ: 4
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, AB = 5. Найдите sin B.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.\nДля угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.\nsin B = AC / AB = \(\frac{4}{5}\) = 0,8.\nОтвет: 0,8.
Ответ: 0,8
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 3√5. Найдите площадь квадрата ABCD.
Решение
Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.
По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.
Следовательно, OA = a√5 / 2.
По условию OA = 3√5, значит a = 6.
Площадь квадрата равна a² = 36.
Ответ: 36.
Ответ: 36
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 14 и 19. Найдите длину основания BC.
Решение
В равнобедренной трапеции при опускании высоты на большее основание оно делится на отрезки x и x+BC.\nСледовательно, BC = 19 - 14 = 5.\nОтвет: 5.
Ответ: 5
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.\nПо клеткам их длины равны 8 и 4.\nБольшая диагональ равна 8.\nОтвет: 8.
Ответ: 8
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((3-x)(x^2-9)\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: разложить через \((x-3)\).
Шаг 1. \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) и \(3-x=-(x-3)\).
Шаг 2. Перемножаем: \((3-x)(x^2-9)=-(x-3)^2(x+3)\).
Шаг 3. Неравенство: \(-(x-3)^2(x+3)\ge0\).
Шаг 4. Делим на \(-1\): \((x-3)^2(x+3)\le0\).
Шаг 5. Произведение \(\le0\) когда \(x+3\le0\Rightarrow x\le-3\), или \(x=3\).
Ответ: \((-\infty;\;-3]\cup\{3\}\).
Правильный ответ: (-∞;-3]∪{3}
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 56 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 93 км, скорость первого велосипедиста равна 20 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: ввести переменную t — время от старта до встречи; первый велосипедист находился в движении меньше.
Шаг 1. Обозначим t (ч) — время от выезда до встречи.
Шаг 2. Первый сделал остановку 56 мин = \(\frac{14}{15}\) ч, поэтому его время движения: t − \(\frac{14}{15}\).
Шаг 3. Суммарный путь равен расстоянию между городами:
20·(t − \(\frac{14}{15}\)) + 30·t = 93.
Шаг 4. Раскрываем: (20 + 30)·t = 93 + 20·\(\frac{14}{15}\) = 335/3.
t = 335/3 / 50 = \(\frac{67}{30}\) ч.
Шаг 5. Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи:
30 · \(\frac{67}{30}\) = 67 км.
Ответ: 67.
Правильный ответ: 67
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции
\[y=\dfrac{(1/4x^2+1x)|x|}{x+4}\]
Определите, при каких значениях m прямая \(y=m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сократить общий множитель в числителе и знаменателе, учитывая исключённую точку.
Шаг 1. Числитель: (\(\frac{1}{4}\)x² + 1x)|x| = \(\frac{1}{4}\)x(x+4)|x|.
Знаменатель: x + 4.
Шаг 2. При x ≠ −4 сокращаем (x+4): y = \(\frac{1}{4}\)x|x|.
Шаг 3. Но x = −4 исключена из ОДЗ (знаменатель = 0).
«Пропущенное» значение: y = \(\frac{1}{4}\)·(−4)·|−4| = \(\frac{1}{4}\)·(−4)·4 = -4.
Шаг 4. Прямая y = -4 проходит через выколотую точку — общих точек с графиком нет.
Ответ: -4.
Правильный ответ: -4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 3, CK = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.
Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.
Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).
Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.
Шаг 2. AB = BK = 3.
Шаг 3. BC = BK + CK = 3 + 12 = 15.
Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(3 + 15) = 36.
Ответ: 36.
Правильный ответ: 36
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высоты из E до противоположных сторон в сумме дают высоту параллелограмма.
Шаг 1. Пусть h₁ — расстояние от E до BC, h₂ — до AD. Тогда h₁ + h₂ = h (высота параллелограмма).
Шаг 2. S(BEC) = BC·h₁/2; S(AED) = AD·h₂/2.
Так как BC = AD (параллелограмм): S(BEC)+S(AED) = AD·(h₁+h₂)/2 = AD·h/2 = S(ABCD)/2. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 80 ⟹ a+b = 40.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·320/40 = 16.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=40 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=16:
a = 8, b = 32.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 16·\(\frac{8}{40}\) = 3,2.
Ответ: 3,2.
Правильный ответ: 3,2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: