Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 14.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 245/45 R18.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 265.
Ответ: 265
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 265/50 R17?
Решение
В маркировке 265/50 R17 ширина шины равна 265 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 265 · 50 / 100 = 132.5 мм. Ответ: 132.5.
Ответ: 132.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/35 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и нового колеса 265/35 R20. Ответ: 15.8.
Ответ: 15.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 245/45 R18 получаем диаметр 677.7 мм. Ответ: 677.7.
Ответ: 677.7
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/45 R18? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и колеса 265/45 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.7.
Ответ: 2.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} : 0,625$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{5} : 0,625\).
Последовательно выполняем действия (деление):
Шаг 1: \((\frac{1}{5}) : 0,625 = 0,32\).
Получили результат \(0,32\).
Ответ: \(0,32\).
Ответ: 0,32
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами \(\frac{113}{50}\) и \(\sqrt{10}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-3
2
0,325
3
3,74
4
\(\frac{16}{5}\)
Решение
Сравним числа \(\frac{113}{50}\) и \(\sqrt{10}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (\(\frac{16}{5}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 4
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15}$$
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x - 8y = 30 \\ x - 5y = 27 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
6x - 8y = 30
x - 5y = 27
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 1, а второе — на 6.
Получим:
\((6x - 8y = 30) \cdot 1\): 6x - 8y = 30
\((x - 5y = 27) \cdot 6\): 6x - 30y = 162
Вычтем второе уравнение из первого:
22y = -132
y = -132 / 22 = -6
Подставим y = -6 в первое уравнение:
6x - 8y = 30
Получаем x = -3.
Ответ: (-3;-6)
Ответ: -3;-6
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 25 чашек: 24 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 1 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{1}{25}\) = 0,04.
Ответ: 0,04.
Ответ: 0,04
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = -1x² + 7x - 7
Б) y = -0.2x - 5
В) y = 9/x
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.
Ответ: 213
12Расчёты по формулам1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки.
Решение
Подставим t = 16 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(16 − 5) = 271.
Ответ: 271.
Ответ: 271
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
6x - x2 > 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 6x - x² = x(6 - x). Нули: 0 и 6. Верное решение: (0;6). Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 10 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?
Решение
Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 10, d = 10, n = 5.
Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·10 + 4·10)/2 = 150.
Ответ: 150.
Ответ: 150
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 53° и BM = AM = MC.
Решение
Из условия BM = AM = MC.\nТогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.\nПоэтому ∠MBC = ∠BCM = 53°.\nСледовательно, ∠BMC = 180° - 2·53° = 74°.\nВ треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.\nПусть ∠A = x. Тогда 2x + 74° = 180°.\nОтсюда x = 90° - 53° = 37°.\nОтвет: 37.
Ответ: 37
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4√2. Найдите длину стороны этого квадрата.
Решение
Для квадрата R = a√2 / 2.\nЗначит, a = R·√2 = 4√2 · √2 = 8.\nОтвет: 8.
Ответ: 8
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
В ромбе ABCD угол ABC равен 56°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение
В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.\nСледовательно, угол C равен 180° - 56° = 124°.\nДиагональ AC биссектрисой угла C.\nПоэтому ∠ACD = 124° / 2 = 62°.\nОтвет: 62.
Ответ: 62
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.\nПо клеткам основания равны 4 и 6, высота равна 4.\nS = (4 + 6) / 2 · 4 = 20.\nОтвет: 20.
Ответ: 20
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3
Любой квадрат является прямоугольником.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(2a-10b+14\), если \(\dfrac{4a-2b+6}{2a-4b+6}=3\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(2a-10b\) и подставить.
Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 17%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 17% воды, значит сухого вещества 83%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 44 кг сухих фруктов:
44 · 83/100 = 36,52 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 78% воды, значит сухого вещества 22%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,22·x = 36,52.
x = 36,52 / 0,22 = 166 кг.
Ответ: 166.
Правильный ответ: 166
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+6x+9,& x\ge -5,\\-\dfrac{20}{x},& x<-5.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[4;+∞).
Ответ: {0}∪[4;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[4;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 36, а сторона BC в 1,8 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 1,8 раза меньше AB, то есть AB = 1,8·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 1,8 = 36 / 1,8 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 43 и CD = 4 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
