Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.
Ответ: 195
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/40 R18?
Решение
В маркировке 225/40 R18 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 40% от ширины. H = 225 · 40 / 100 = 90 мм. Ответ: 90.
Ответ: 90
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R15?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 195/60 R15. Ответ: 0.4.
Ответ: 0.4
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.
Ответ: 614.6
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/70 R14? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 195/70 R14, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.
Ответ: 2.3
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$25 + 0,075$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(25 + 0,075\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((25) + 0,075 = 25,075\).
Ответ: \(25,075\).
Ответ: 25,075
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами \(\sqrt{2}\) и 4,6?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{4}\)
2
1,625
3
\(-\frac{77}{20}\)
4
\(-\frac{23}{5}\)
Решение
Сравним числа \(\sqrt{2}\) и 4,6. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (1,625) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{35}$$
Найдите корни уравнения:
x2 - 2x - 15 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 2x - 15 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -2, c = -15.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -2² - 4·1·-15 = 64.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (2 - √64) / 2 = -3
x₂ = (2 + √64) / 2 = 5
Ответ: -3;5
Ответ: -3;5
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 40 билетов, Костя не выучил 31 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 9 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{9}{40}\) = 0,225.
Ответ: 0,225.
Ответ: 0,225
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = -\dfrac{3}{4}x - 1\)
Б) \(y = -x^2 + 5\)
В) \(y = -\dfrac{12}{x}\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -30 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = -30 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(-30) + 32 = -22.
Ответ: -22.
Ответ: -22
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
7x - 3 > -3x + 9
1
(0,6;+∞)
2
(1,2;+∞)
3
(-∞;-1,2)
4
(-3;+∞)
Решение
Решим неравенство: 7x - 3 > -3x + 9.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 10x > 12.
Делим обе части на 10: x > 1,2.
Значит, x больше 1,2.
Этому соответствует промежуток (1,2;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 10√3 · √3 / 2 = 10·3 / 2 = 15.
Ответ: 15.
Ответ: 15
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 8√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 8√2 = 16√2.
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 16√2 · √2 = 32.
Ответ: 32.
Ответ: 32
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Один из углов равнобедренной трапеции равен 66°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
В равнобедренной трапеции соседние углы при боковой стороне supplementary.
Искомый угол равен 180° - 66° = 114°.
Ответ: 114.
Ответ: 114
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 3 и 9, высота равна 4.
S = (3 + 9) / 2 · 4 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
2
Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
3
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2+y=6,\\4x^2-y=1.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((3x^2+y)+(4x^2-y)=6+1\Rightarrow 7x^2=7\).
Шаг 2. \(x^2=1\Rightarrow x=\pm1\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=6-3x^2=6-3=3\).
Ответ: \((-1;\,3);\ (1;\,3)\).
Правильный ответ: (-1;3);(1;3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные — 26%. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 72% воды, значит сухого вещества 28%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 222 кг свежих фруктов:
222 · 28/100 = 62,16 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 26% воды, значит сухого вещества 74%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,74·x = 62,16.
x = 62,16 / 0,74 = 84 кг.
Ответ: 84.
Правильный ответ: 84
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+6,25,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-5; 5; 7,25 \).
Ответ: \( -5; 5; 7,25 \).
Правильный ответ: -5; 5; 7,25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 120 и 126. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.
Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.
BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.
S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).
Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△APD) (общую часть):
S(△APB) = S(△CPD). ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 30, AC = 100, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.
Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.
Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).
Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.
Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):
