Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/70 R12.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 13 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.
Ответ: 195
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 175/65 R13?
Решение
В маркировке 175/65 R13 ширина шины равна 175 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 175 · 65 / 100 = 113.75 мм. Ответ: 113.75.
Ответ: 113.75
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R13?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и нового колеса 195/60 R13. Ответ: 14.4.
Ответ: 14.4
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/70 R12 получаем диаметр 549.8 мм. Ответ: 549.8.
Ответ: 549.8
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 175/65 R13? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и колеса 175/65 R13, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.4.
Ответ: 1.4
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$3,5 : 0,035 \cdot 6,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(3,5 : 0,035 \cdot 6,25\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((3,5) : 0,035 = 100\).
Шаг 2: \((100) \cdot 6,25 = 625\).
Ответ: \(625\).
Ответ: 625
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от 0,84 до \(\frac{1}{1}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(-\frac{22}{25}\)
2
-0,95
3
-1,5
4
0,9
Решение
Сравним числа 0,84 и \(\frac{1}{1}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (0,9) лежит между этими числами.
Ответ: 4
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{63} + \sqrt{175})\sqrt{7}$$
Найдите корни уравнения:
x2 + 6x - 27 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 6x - 27 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 6, c = -27.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 6² - 4·1·-27 = 144.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-6 - √144) / 2 = -9
x₂ = (-6 + √144) / 2 = 3
Ответ: -9;3
Ответ: -9;3
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.35 и 0.65: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.4, по нижнему 0.125.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.35 · 0.4 = 0.14.
Нижний путь: 0.65 · 0.125 = 0.08125.
Складываем: 0.14 + 0.08125 = 0.22125.
Ответ: 0,22125
Ответ: 0,22125
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -x^2 + 5\)
Б) \(y = -\dfrac{12}{x}\)
В) \(y = -\dfrac{3}{4}x - 1\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12Расчёты по формулам1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,09 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Подставим V = 0,09 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,09 = 882.
Ответ: 882.
Ответ: 882
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-8x - 9 < -3x - 9
1
(0;+∞)
2
(-∞;3,6)
3
(-∞;0)
4
(3,6;+∞)
Решение
Решим неравенство: -8x - 9 < -3x - 9.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -5x > 0.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -5: x > 0.
Значит, x больше 0.
Этому соответствует промежуток (0;+∞).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 400, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
Ответ: 4
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 9/10, AB = 60. Найдите BC.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.
Значит, BC = AB · cos B = 60 · \(\frac{9}{10}\) = 54.
Ответ: 54.
Ответ: 54
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 38°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 49°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 38° - 49° = -11°.
Ответ: -11.
Ответ: -11
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Основания трапеции равны 2 и 10, а высота равна 3. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
m = (2 + 10) / 2 = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 6 и 6.
Большая диагональ равна 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Идея: числитель \(-16<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+2)^2-5<0\).
Шаг 2. \((x+2)^2<5\).
Шаг 3. \(-\sqrt{5}<x+2<\sqrt{5}\).
Шаг 4. Вычитаем 2: \(-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}\).
Ответ: \((-2-\sqrt{5};\; -2+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: (-2-√5;-2+√5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 40 кг получается раствор с концентрацией 32%:
22·x + 18·y = 40·0,32 = 12,8 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 30%:
(x + y)/2 = 0,30 ⟹ x + y = 0,60 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,60 − x. Подставляем в (1):
22·x + 18·(0,60 − x) = 12,8
22x + 10,8 − 18x = 12,8
4x = 2 ⟹ x = 0,5.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 22·0,5 = 11 кг.
Ответ: 11.
Правильный ответ: 11
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 6\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 6.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 6.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 6. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 6.
Проверка: при m = 6 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 36, а сторона BC в 1,8 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 1,8 раза меньше AB, то есть AB = 1,8·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 1,8 = 36 / 1,8 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.
Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.
BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.
S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).
Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△APD) (общую часть):
S(△APB) = S(△CPD). ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 11, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 126° и 99°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
