Загрузка заданий...

Вариант 1237 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,7 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 5, кладовая — 2, кухня — 6, гостиная — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 5263.

Ответ: 5263

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 20 см на 20 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в спальне?

Решение

По плану площадь покрытия спальни составляет 88 клеток.

Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м, поэтому площадь равна 88 · 0,49 = 43,12 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.

Нужно элементов: 43,12 / 0,04 = 1078.

В одной упаковке 12 штук, значит понадобится 90 упаковок.

Ответ: 90.

Ответ: 90

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь большей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 33 клетки.

Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м.

Значит, площадь равна 33 · 0,49 = 16,17 кв. м.

Ответ: 16,17.

Ответ: 16,17

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кухни?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 72 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 72) / 72) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

Ответ: 100

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «600»	650 руб. за 600 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб
План «900»	820 руб. за 900 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб
План «Безлимитный»	930 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 700 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 700 Мб:

План «600»: 650 + 100 · 2 = 850 руб.

План «900»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 930 руб.

Самым дешёвым оказывается План «900»: 820 руб.

Ответ: 820.

Ответ: 820

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$10 : 0,8$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $10 : 0,8$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(10) : 0,8 = 12,5$.

Ответ: $12,5$.

Ответ: 12,5

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какой точке на координатной прямой соответствует число 3,6?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число 3,6 по своему значению совпадает с точкой C.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3^{-2} \cdot (3^2)^3$$

Решение

Вычислим выражение: 3^(-2) · (3^2)^3.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^2)^3 = 3^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-2 · 3^6 = 3^4.

Получаем 3^4 = 81.

Ответ: 81.

Ответ: 81

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 9x + 18 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 9x + 18 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -9, c = 18.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -9² - 4·1·18 = 9.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (9 - √9) / 2 = 3

x₂ = (9 + √9) / 2 = 6

Ответ: 3;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 25 билетов, Костя не выучил 21 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 4 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{4}{25}$ = 0,16.

Ответ: 0,16.

Ответ: 0,16

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -2x - 4$

Б) $y = \sqrt{x}$

В) $y = -x^2 - 2$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 15 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(15 − 5) = 260.

Ответ: 260.

Ответ: 260

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

8x + 8 > 3x - 2

(2;+∞)

(-∞;0)

(-2;+∞)

(-∞;1,2)

Решение

Решим неравенство: 8x + 8 > 3x - 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x > -10.

Делим обе части на 5: x > -2.

Значит, x больше -2.

Этому соответствует промежуток (-2;+∞).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 13, d = 10, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 6(2·13 + 5·10)/2 = 228.

Ответ: 228.

Ответ: 228

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 11, AB = 20. Найдите sin B.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.

sin B = AC / AB = $\frac{11}{20}$ = 0,55.

Ответ: 0,55.

Ответ: 0,55

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 10, BC = 24, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.

По теореме Пифагора AB = 26.

Следовательно, R = AB / 2 = 26 / 2 = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 4 · $\frac{1}{2}$ = 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 4.

S = 7 · 4 = 28.

Ответ: 28.

Ответ: 28

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: S = $\frac{1}{2}$ ab sin γ, а sin γ ≤ 1, значит S ≤ ab/2 < ab.

2) Неверно: средняя линия равна полусумме оснований.

3) Верно: по признаку подобия по двум углам.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2-5x=y,\\2x-5=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $2x^2-5x=2x-5$.

Шаг 2. Переносим влево: $2x^2-7x+5=0$.

Шаг 3. Разложим: $(2x-5)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{5}{2}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{5}{2}$: $y=2\cdot\dfrac{5}{2}-5=0$.

При $x=1$: $y=2-5=-3$.

Ответ: $\left(\dfrac{5}{2};\,0\right);\ (1;\,-3)$.

Правильный ответ: (5/2;0);(1;-3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 48 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.

Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 3 км/ч.

Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 48 км.

Время плота в пути: 48 / 3 = 16 ч.

Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:

16 − 1 = 15 ч.

Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:

108/(x+3) + 108/(x−3) = 15.

Шаг 5. Умножаем на (x+3)(x−3) и упрощаем: квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение: x = 15.

Шаг 7. Проверка: 6 + 9 = 15. ✓

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2+6x-9,& x\ge 2,\\-x,& x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-2;-1)∪{0}.

Ответ: (-2;-1)∪{0}.

Правильный ответ: (-2;-1)∪{0}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 16, CD = 30, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 15, полухорда = AB/2 = 8.

R² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289. R = 17.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 15.

d² = R² − 15² = 289 − 225 = 64. d = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов C и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠C + ∠D = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠C/2 + ∠D/2 = 90°.

Значит в △L (треугольник при пересечении биссектрис) угол при L равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла C.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до L равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем L — середина AB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 17, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 4.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 4.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 4 + 4 = 8.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 17 · 8 = 136.

Ответ: 136.

Правильный ответ: 136

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.