Загрузка заданий...

Вариант 1253 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.

Исходящие вызовы	375 мин.	150 мин.	275 мин.	300 мин.
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 7325.

Ответ: 7325

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?

Решение

По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.

Ответ: 500

3 Задание 3 1 балл

Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?

Решение

По графику минимальный трафик мобильного интернета равен 1 ГБ. Ответ: 1.

Ответ: 1

4 Задание 4 1 балл

В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?

Решение

В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.

Ответ: 40

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?

Решение

Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.

Ответ: 880

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{5} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{5} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{5}) + \frac{7}{4} = \frac{47}{20}$.

Шаг 2: $(\frac{47}{20}) + \frac{7}{2} = \frac{117}{20}$.

Получили дробь $\frac{117}{20}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $5,85$.

Ответ: $5,85$.

Ответ: 5,85

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами -1,5 и 1?
В ответе укажите номер правильного варианта.

0,8

-1,6

4,34

-4,12

Решение

Сравним числа -1,5 и 1. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (0,8) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$6\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{10} \cdot \sqrt{50}$$

Решение

Вычислим выражение: 6√5 · 5√10 · √50.

Перемножим коэффициенты: 6 · 5 = 30.

Подкоренные выражения дают: √5 · √10 · √50 = √(5·10·50) = √(2500) = 50.

Тогда всё выражение равно 30 · 50 = 1500.

Ответ: 1500.

Ответ: 1500

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + 4y = -8 \\ 7x - 6y = 46 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

x + 4y = -8

7x - 6y = 46

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе — на 1.

Получим:

$(x + 4y = -8) \cdot 7$: 7x + 28y = -56

$(7x - 6y = 46) \cdot 1$: 7x - 6y = 46

Вычтем второе уравнение из первого:

34y = -102

y = -102 / 34 = -3

Подставим y = -3 в первое уравнение:

x + 4y = -8

Получаем x = 4.

Ответ: (4;-3)

Ответ: 4;-3

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 104 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 125.

Благоприятных исходов: 21 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 21/125 = 0,168.

Ответ: 0,168.

Ответ: 0,168

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c > 0

3) a > 0, c < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 14, sinα = 0,625, а S = 48,125.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·48,125/(14·0,625) = 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 0,9 − 6x > -38,7 \\ x + 1,4 > 1,2 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-0,2;6,6). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 9, d = 10, n = 5.

Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·9 + 4·10)/2 = 145.

Ответ: 145.

Ответ: 145

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 13° и AK = CK.

Решение

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.

Но ∠ACK = ∠C = 13°.

Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·13° = 26°.

Тогда ∠B = 180° - 26° - 13° = 141°.

Ответ: 141.

Ответ: 141

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 17. Найдите BC, если AC = 16.

Решение

Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.

Поэтому AB = 2R = 34.

Тогда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.

По теореме Пифагора находим неизвестный катет.

Ответ: 30.

Ответ: 30

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 16 и 19. Найдите длину основания BC.

Решение

В равнобедренной трапеции при опускании высоты на большее основание оно делится на отрезки x и x+BC.

Следовательно, BC = 19 - 16 = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=3: t=(7−3)/(7−1)=$\frac{2}{3}$. x_A=3, x_B=5. AB=2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $37a-19b+34$, если $\dfrac{3a-5b+4}{5a-3b+4}=8$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $37a-19b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $3a-5b+4 = 8(5a-3b+4)$.

Шаг 2. Раскрываем: $3a-5b+4 = 40a-24b+32$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 37a-19b+28$, откуда $37a-19b = -28$.

Шаг 4. Вычисляем: $37a-19b+34 = -28+34 = 6$.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 82% воды, а высушенные — 28%. Сколько сухих фруктов получится из 132 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 82% воды, значит сухого вещества 18%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 132 кг свежих фруктов:

132 · 18/100 = 23,76 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 28% воды, значит сухого вещества 72%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,72·x = 23,76.

x = 23,76 / 0,72 = 33 кг.

Ответ: 33.

Правильный ответ: 33

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+6,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+6,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-5; 5; 7,25 $.

Ответ: $ -5; 5; 7,25 $.

Правильный ответ: -5; 5; 7,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 32, AC = 39.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.

Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = $\frac{16}{32}$ = $\frac{1}{2}$.

Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 2.

Одна «часть» = AC / (2+1) = 39 / 3 = 13.

Шаг 3. MC = 2 · 13 = 26.

Ответ: 26.

Правильный ответ: 26

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠CAD = ∠CBD (на дугу CD).

Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).

Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.

Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 12 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 10 · 12 = 120.

BE = √120 = 2√6.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√6.

Ответ: 2√6.

Правильный ответ: 2√6

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.