Загрузка заданий...

Вариант 1259 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,3 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	санузел	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 6, кладовая — 3, санузел — 4, гостиная — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, санузел, гостиная.

Следовательно, ответ: 6347.

Ответ: 6347

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 40 см продаётся в упаковках по 7 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол на кухне?

Решение

По плану площадь покрытия кухни составляет 72 клетки.

Площадь одной клетки: 0,3 · 0,3 = 0,09 кв. м, поэтому площадь равна 72 · 0,09 = 6,48 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,4 = 0,08 кв. м.

Нужно элементов: 6,48 / 0,08 = 81.

В одной упаковке 7 штук, значит понадобится 12 упаковок.

Ответ: 12.

Ответ: 12

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь спальни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 88 клеток.

Площадь одной клетки: 0,3 · 0,3 = 0,09 кв. м.

Значит, площадь равна 88 · 0,09 = 7,92 кв. м.

Ответ: 7,92.

Ответ: 7,92

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади санузла?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 36 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 36) / 36) · 100% = 300%.

Ответ: 300.

Ответ: 300

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с фронтальной загрузкой, по глубине не превосходящую 42 см.

Решение

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель Б: 24 000 + 4 500 + доставка: 10% от 24 000 = 2 400 руб. = 30 900 руб.

Модель В: 25 000 + 5 000 + доставка: 10% от 25 000 = 2 500 руб. = 32 500 руб.

Модель З: 20 000 + 6 300 + доставка: 15% от 20 000 = 3 000 руб. = 29 300 руб.

Модель И: 27 000 + 1 800 + доставка бесплатная = 28 800 руб.

Наименьшая стоимость у модели И: 28 800 руб.

Ответ: 28 800.

Ответ: 28800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \cdot 3$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \cdot 3$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{2}) \cdot 3 = 4,5$.

Шаг 2: $(\frac{1}{4}) + 4,5 = 4,75$.

Получили результат $4,75$.

Ответ: $4,75$.

Ответ: 4,75

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-a > -7

$\frac{1}{a} < 0$

-a < -7

a > 8

Решение

По чертежу видно, что 7 < a < 8.

Проверим варианты ответа:

1) -a > -7 ⇔ a < 7 — неверно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

3) -a < -7 ⇔ a > 7 — верно.

4) a > 8 ⇔ a > 8 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 4)(\sqrt{3} + 4)$$

Решение

Вычислим выражение: (√3 - 4)(√3 + 4).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√3)² - 4² = 3 - 16 = -13.

Ответ: -13.

Ответ: -13

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x - y = -21 \\ 5x - 8y = -52 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-3x - y = -21

5x - 8y = -52

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе — на -3.

Получим:

$(-3x - y = -21) \cdot 5$: -15x - 5y = -105

$(5x - 8y = -52) \cdot -3$: -15x + 24y = 156

Вычтем второе уравнение из первого:

-29y = -261

y = -261 / -29 = 9

Подставим y = 9 в первое уравнение:

-3x - y = -21

Получаем x = 4.

Ответ: (4;9)

Ответ: 4;9

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = -x + 4$

2) $y = -x$

3) $y = -3x + 4$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 8 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(8 − 5) = 183.

Ответ: 183.

Ответ: 183

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

3x - 10 ≥ -7x - 2

[0;+∞)

[0,8;+∞)

(-∞;-2]

(-∞;-1,2]

Решение

Решим неравенство: 3x - 10 >= -7x - 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 10x >= 8.

Делим обе части на 10: x >= 0,8.

Значит, x больше или равно 0,8.

Этому соответствует промежуток [0,8;+∞).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4,5 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 20 см = 0,2 м.

После 3-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 4-го прыжка уже меньше.

Ответ: 4.

Ответ: 4

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 4 · 9 = $\frac{36}{2}$ = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 47°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 47° / 2 = 23,5°.

Ответ: 23,5.

Ответ: 23,5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 34 · $\frac{1}{2}$ = 17.

Ответ: 17.

Ответ: 17

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 2 и 8.

m = (2 + 8) / 2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существует квадрат, который не является прямоугольником.

Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}+\frac{4}{x}-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: делаем замену $t=\frac{1}{x}$, чтобы свести к квадратному уравнению.

Шаг 1. Обозначим $t=\frac{1}{x}$. Тогда $\frac{1}{x^2}=t^2$. Уравнение становится:

$t^2+4t-12=0$.

Шаг 2. Находим корни. Дискриминант: $D=4^2+4\cdot12=16+48=64$, $\sqrt{D}=8$.

$t_1=\dfrac{-4+8}{2}=2,\quad t_2=\dfrac{-4-8}{2}=-6$.

Шаг 3. Обратная замена $x=\frac{1}{t}$:

Если $t=2$: $x=\dfrac{1}{2}$.

Если $t=-6$: $x=-\dfrac{1}{6}$.

Шаг 4. Проверяем ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $-\dfrac{1}{6};\quad \dfrac{1}{2}$.

Правильный ответ: -1/6;1/2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 20 кг получается раствор с концентрацией 57%:

4·x + 16·y = 20·0,57 = 11,4 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 60%:

(x + y)/2 = 0,60 ⟹ x + y = 1,20 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 1,20 − x. Подставляем в (1):

4·x + 16·(1,20 − x) = 11,4

4x + 19,2 − 16x = 11,4

−12x = −7,8 ⟹ x = 0,65.

Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 4·0,65 = 2,6 кг.

Ответ: 2,6.

Правильный ответ: 2,6

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 5. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 5.

Проверка: при m = 5 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 80 и 116. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(116² − 80²) = √7056 = 84.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 80·$\frac{84}{2}$ = 3360.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 116 и высоту h к ней: S = 116·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 80·84/116 = 1680/29.

Ответ: 1680/29.

Правильный ответ: 1680/29

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что отрезки CL и AN равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.

Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).

Шаг 2. Прямая через O пересекает BC в точке L и AD в точке N.

Центральная симметрия переводит BC в AD и L в N (так как O — центр).

Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит CL = AN. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 35 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √35/6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 9 · 35 = 315.

AT = √315.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 26 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{35}{6}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 27.

Ответ: 27.

Правильный ответ: 27

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.