Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 150 мин., 300 мин., 175 мин., 375 мин.
Исходящие вызовы
150 мин.
300 мин.
175 мин.
375 мин.
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3517.
Ответ: 3517
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в августе?
Решение
По условию и ключу источника расходы в августе составляют 425 руб. Ответ: 425.
Ответ: 425
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году расходы по тарифу составили ровно 350 рублей?
Решение
Ровно 350 рублей абонент платил в месяцы, когда не было доплат сверх пакетов. Таких месяцев четыре. Ответ: 4.
Ответ: 4
4Задание 41 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» выросла на 75% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
350 руб. — это 175% от платы 2018 года. Значит, плата 2018 года: 350 : 1,75 = 200 руб. Ответ: 200.
Ответ: 200
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
470 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
120 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
160 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф не выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
Ответ: 350
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,25\).
Ответ: \(0,25\).
Ответ: 0,25
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} > 0\)
2
a < -2
3
-2 - a < 0
4
-a < 1
Решение
По чертежу видно, что -2 < a < -1.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) a < -2 ⇔ a < -2 — неверно.
3) -2 - a < 0 ⇔ a > -2 — верно.
4) -a < 1 ⇔ a > -1 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{10} - 2)(\sqrt{10} + 2)$$
Решение
Вычислим выражение: (√10 - 2)(√10 + 2).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√10)² - 2² = 10 - 4 = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: $$\frac{8}{x + 1} = -1$$
Решение
Решим уравнение: 8/(x + 1) = -1
Область допустимых значений: x != -1.
Умножим обе части уравнения на x + 1:
8 = -1(x + 1)
Раскроем скобки:
8 = -1x - 1
Перенесём число в левую часть:
9 = -1x
x = 9 / -1
x = -9
Проверка ОДЗ: x = -9, x != -1, условие выполняется.
Ответ: -9
Ответ: -9
10Статистика, вероятности1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 31 чёрных, 1 жёлтых и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 1 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{1}{40}\) = 0,025.
Ответ: 0,025.
Ответ: 0,025
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = 2x - 4\)
Б) \(y = 3x + 4\)
В) \(y = -3x + 4\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 312.
Ответ: 312
12Расчёты по формулам1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 1173,25 Вт, а сила тока равна 9,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 1173,25/(9,5²) = 13.
Ответ: 13.
Ответ: 13
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
2x - 1 > 3x - 7
1
(-∞;6)
2
(8;+∞)
3
(-∞;-1,2)
4
(-∞;8)
Решение
Решим неравенство: 2x - 1 > 3x - 7.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x < -6.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -1: x < 6.
Значит, x меньше 6.
Этому соответствует промежуток (-∞;6).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 540, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 15° и AK = CK.
Решение
Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.
Но ∠ACK = ∠C = 15°.
Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·15° = 30°.
Тогда ∠B = 180° - 30° - 15° = 135°.
Ответ: 135.
Ответ: 135
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 14,5. Найдите AC, если BC = 21.
Решение
Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.
Поэтому AB = 2R = 29.
Тогда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.
По теореме Пифагора находим неизвестный катет.
Ответ: 20.
Ответ: 20
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Сторона квадрата равна 10√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 10√2 · √2 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 8 и 4.
Большая диагональ равна 8.
Ответ: 8.
Ответ: 8
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
2
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
3
Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
Идея: числитель \(-15<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+1)^2-3<0\).
Шаг 2. \((x+1)^2<3\).
Шаг 3. \(-\sqrt{3}<x+1<\sqrt{3}\).
Шаг 4. Вычитаем 1: \(-1-\sqrt{3}<x<-1+\sqrt{3}\).
Ответ: \((-1-\sqrt{3};\; -1+\sqrt{3})\).
Правильный ответ: (-1-√3;-1+√3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.
Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):
t₁ = 300/60 = 5 ч,
t₂ = 300/100 = 3 ч,
t₃ = 300/75 = 4 ч.
Шаг 2. Общее расстояние: 300 + 300 + 300 = 900 км.
Шаг 3. Общее время: 5 + 3 + 4 = 12 ч.
Шаг 4. Средняя скорость: 900 / 12 = 75 км/ч.
Ответ: 75.
Правильный ответ: 75
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+2x+1,& x\ge -2,\\-\dfrac{2}{x},& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[1;+∞).
Ответ: {0}∪[1;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[1;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 9, AC = 81.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 9 · 81 = 729.
Шаг 3. AB = √729 = 27.
Ответ: 27.
Правильный ответ: 27
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 14. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
