Загрузка заданий...
Вариант 1287 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
Ответ: 1243
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
Ответ: 4
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
Ответ: 312.5
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
Ответ: 150
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
Ответ: 4800
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$3,5 : \frac{7}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(3,5 : \frac{7}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((3,5) : \frac{7}{5} = 2,5\).
Получили результат \(2,5\).
Ответ: \(2,5\).
Ответ: 2,5
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами \(\frac{1}{5}\) и \(\frac{9}{2}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа \(\frac{1}{5}\) и \(\frac{9}{2}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (3,875) лежит между этими числами.
Ответ: 1
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1)$$
Решение
Вычислим выражение: (√7 - 1)(√7 + 1).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√7)² - 1² = 7 - 1 = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -6x + 8y = -64 \\ 3x - 8y = 52 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-6x + 8y = -64
3x - 8y = 52
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе — на -6.
Получим:
\((-6x + 8y = -64) \cdot 3\): -18x + 24y = -192
\((3x - 8y = 52) \cdot -6\): -18x + 48y = -312
Вычтем второе уравнение из первого:
-24y = 120
y = 120 / -24 = -5
Подставим y = -5 в первое уравнение:
-6x + 8y = -64
Получаем x = 4.
Ответ: (4;-5)
Ответ: 4;-5
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 10 чашек: 6 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 10.
Благоприятных исходов: 4 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{4}{10}\) = 0,4.
Ответ: 0,4.
Ответ: 0,4
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = -\dfrac{6}{x}\)
Б) \(y = \dfrac{2}{3}x - 5\)
В) \(y = -3x^2 + 9x - 4\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.
Ответ: 321
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 295,75 Вт, а сила тока равна 6,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 295,75/(6,5²) = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 3,5 \geqslant 6,2 \\ 0 − 4x \leqslant -13,6 \end{cases}$$
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [3,4;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = 3, n = 13.
Сначала найдём последний ряд: a13 = 20 + (13 - 1)·3 = 56.
Сумма первых 13 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 13·(20 + 56)/2 = 494.
Ответ: 494.
Ответ: 494
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 11/15, AB = 75. Найдите BC.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.
Значит, BC = AB · cos B = 75 · \(\frac{11}{15}\) = 55.
Ответ: 55.
Ответ: 55
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 28, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.
Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:
tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 28 · 0,75 = 21.
Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 28 · 21 / 2 = 294.
Сторона ромба a = √((\(\frac{28}{2}\))² + (\(\frac{21}{2}\))²) = 17,5.
Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.
r = S / (2a) = 294 / (2·17,5) = 8,4.
Ответ: 8,4.
Ответ: 8,4
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 17, AB = 14. Найдите AC.
Решение
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Значит, BD = 2·BO = 2·17 = 34.
Так как AC = BD, получаем:
AC = 34.
Ответ: 34.
Ответ: 34
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 5, высота равна 4.
S = 5 · 4 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Неверно.
3) Верно.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(x^2-2x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+35\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: слагаемое \(\sqrt{6-x}\) одинаково с обеих сторон — сокращаем.
Шаг 1. Вычитаем \(\sqrt{6-x}\) из обеих частей:
\(x^2-2x=35\).
Шаг 2. Решаем:
\(x^2-2x-35=0\Rightarrow(x-7)(x+5)=0\).
Корни: \(x=7\) и \(x=-5\).
Шаг 3. ОДЗ: \(6-x\ge0\Rightarrow x\le6\).
Значение \(x=7\) не подходит. Остаётся \(x=-5\).
Ответ: \(-5\).
Правильный ответ: -5
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 13 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 208 деталей, на 8 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 13) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 208/x ч, первым — 208/(x+13) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 8 ч больше:
208/x − 208/(x+13) = 8.
Шаг 4. Умножаем на x(x+13):
208·(x+13) − 208·x = 8·x·(x+13).
2704 = 8·x² + 104·x.
8x² + 104x − 2704 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 104² + 4·8·2704 = 10816 + 86528 = 97344, √D = 312.
x = (−104 + 312) / (2·8) = 13 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — 208/13 = 16 ч, первый — 208/26 = 8 ч.
16 − 8 = 8 = 8. ✓
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 1\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 1.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 1.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 1. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 1.
Проверка: при m = 1 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 1.
Правильный ответ: 1
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 16, а AB = 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Шаг 1. Из условия задачи D = 16, AB = 15.
Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².
AC² − 16·AC − 15² = 0.
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 16·AC − 225 = 0.
Положительный корень: AC = 25.
Проверка: D = (25² − 15²)/25 = 400/25 = 16. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов C и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Шаг 1. Точка P лежит на биссектрисе угла C.
⟹ расстояние от P до обеих сторон угла C одинаково.
Шаг 2. Точка P лежит на биссектрисе угла D.
⟹ расстояние от P до обеих сторон угла D одинаково.
Шаг 3. Объединяя: расстояние от P до каждой из прямых BC, CD и AD одинаково. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 9, MD = 6, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.
Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.
Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?
Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).
Шаг 3. AM = AD − MD = 9 − 6 = 3.
AM² = 9.
AH = AM² / AD = 9 / 9 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).
Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 9 − \(\frac{36}{9}\) = 5.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.