Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
594
420
2
420
297
3
148
105
4
297
210
Решение
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
Ответ: 1243
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
Ответ: 4
3Задание 31 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
Ответ: 312.5
4Задание 41 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
Ответ: 150
5Задание 51 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
Ответ: 4800
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$5 + 37,5 \cdot \frac{9}{25}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(5 + 37,5 \cdot \frac{9}{25}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((37,5) \cdot \frac{9}{25} = 13,5\).
Шаг 2: \((5) + 13,5 = 18,5\).
Получили результат \(18,5\).
Ответ: \(18,5\).
Ответ: 18,5
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Укажите число, которое больше \(-\frac{33}{100}\), но меньше \(\frac{1}{4}\).
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
0,52
2
3,66
3
-4,925
4
\(-\frac{1}{8}\)
Решение
Сравним числа \(-\frac{33}{100}\) и \(\frac{1}{4}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (\(-\frac{1}{8}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 4
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^2)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^2 = 7^4.
Найдите корни уравнения:
x2 - 12x + 35 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 12x + 35 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -12, c = 35.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -12² - 4·1·35 = 4.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (12 - √4) / 2 = 5
x₂ = (12 + √4) / 2 = 7
Ответ: 5;7
Ответ: 5;7
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.7 и 0.3: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.25, по нижнему 0.65.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.7 · 0.25 = 0.175.
Нижний путь: 0.3 · 0.65 = 0.195.
Складываем: 0.175 + 0.195 = 0.37.
Ответ: 0,37
Ответ: 0,37
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.
Ответ: 132
12Расчёты по формулам1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 9,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 48,735 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 48,735/(9,5²) = 0,54.
Ответ: 0,54.
Ответ: 0,54
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1
x2 - 64 > 0
2
x2 - 64 < 0
3
x2 - 64 ≥ 0
4
x2 - 64 ≤ 0
Решение
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 6° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7° C.
Решение
Температура уменьшается равномерно на 6° C в минуту.
Через 9 минут изменение составит 6·9 = 54° C.
Итоговая температура: -7 - 54 = -61.
Ответ: -61.
Ответ: -61
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 174°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.
Поэтому он равен 180° - 174° = 6°.
Ответ: 6.
Ответ: 6
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 16°, угол CAD равен 32°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.
Следовательно, ∠ACD = 16°.
Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:
угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.
Получаем ∠ABC = 16° + 32° = 48°.
Ответ: 48.
Ответ: 48
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Основание равно 5 + 5 = 10.
S = 10 · 12 = 120.
Ответ: 120.
Ответ: 120
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 4, высота равна 5.
S = 4 · 5 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
3
Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(3a-27b+32\), если \(\dfrac{4a-b+3}{a-4b+3}=7\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(3a-27b\) и подставить.
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 60 кг получается раствор с концентрацией 33%:
40·x + 20·y = 60·0,33 = 19,8 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 47%:
(x + y)/2 = 0,47 ⟹ x + y = 0,94 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 0,94 − x. Подставляем в (1):
40·x + 20·(0,94 − x) = 19,8
40x + 18,8 − 20x = 19,8
20x = 1 ⟹ x = 0,05.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 40·0,05 = 2 кг.
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 8\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 8.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 8.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 8.
Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 11, DC = 22, AC = 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 15. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
