Загрузка заданий...
Вариант 132 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 14.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
Ответ: 1243
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
Ответ: 4
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
Ответ: 312.5
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
Ответ: 150
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
Ответ: 4800
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{9}{2} - \frac{9}{4} : \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{9}{2} - \frac{9}{4} : \frac{1}{2}\).
Последовательно выполняем действия (вычитание, деление):
Шаг 1: \((\frac{9}{2}) - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}\).
Шаг 2: \((\frac{9}{4}) : \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\).
Получили дробь \(\frac{9}{2}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(4,5\).
Ответ: \(4,5\).
Ответ: 4,5
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше -1,625, но меньше 2,8.
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -1,625 и 2,8. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(\frac{13}{20}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{10} - 2)(\sqrt{10} + 2)$$
Решение
Вычислим выражение: (√10 - 2)(√10 + 2).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√10)² - 2² = 10 - 4 = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 10x + 25 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 10x + 25 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -10, c = 25.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -10² - 4·1·25 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = 10 / 2 = 5
Ответ: 5
Ответ: 5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 109 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 125.
Благоприятных исходов: 16 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 16/125 = 0,128.
Ответ: 0,128.
Ответ: 0,128
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,6 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Подставим V = 0,6 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,6 = 5 880.
Ответ: 5 880.
Ответ: 5 880
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
5x - 2 < -4x + 7
Решение
Решим неравенство: 5x - 2 < -4x + 7.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 9x < 9.
Делим обе части на 9: x < 1.
Значит, x меньше 1.
Этому соответствует промежуток (-∞;1).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 16, d = -3.
Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 6.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 6·(16 + 1)/2 = 51.
Ответ: 51.
Ответ: 51
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 69, сторона BC равна 49, сторона AC равна 104. Найдите MN.
Решение
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией.\nСредняя линия параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.\nПоэтому MN = AC : 2 = 104 : 2 = 52.\nОтвет: 52.
Ответ: 52
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 56, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.\np = 50 / 2 = 25.\nS = p·r = 25 · 4 = 100.\nОтвет: 100.
Ответ: 100
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.\nБиссектриса делит угол A пополам.\nСледовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 33° = 66°.\nОтвет: 66.
Ответ: 66
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 12 и 4.
Искомое отношение площадей равно (12 / 4)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-11)^2<\sqrt{5}(x-11)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-11)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-11)^2-\sqrt{5}(x-11)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-11)\bigl[(x-11)-\sqrt{5}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=11\) и \(x=11+\sqrt{5}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((11;\; 11+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: (11;11+√5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время первого автомобиля равно времени второго, разделить путь на половины.
Шаг 1. Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, длина пути — S км.
Шаг 2. Время первого: S/x. Время второго: S/(2·55) + S/(2·(x+6)).
Шаг 3. Прибыли одновременно, значит: S/x = S/(2·55) + S/(2·(x+6)).
Шаг 4. Делим на S и умножаем на 2·55·x·(x+6):
2·55·(x+6) = x·(x+6) + 55·x.
Шаг 5. Раскрываем и упрощаем: x² + -49x − 660 = 0.
Шаг 6. D = -49² + 4·660 = 5041, √D = 71.
x = (−-49 + 71) / 2 = 60 (берём положительный корень).
Ответ: 60.
Правильный ответ: 60
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=-5-\dfrac{x-2}{x^2-2x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=-5-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=2 \).
У функции \( y=-5-\frac1x \) нет значений \( y=-5 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=-5,5 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=-5,5; -5 \).
Ответ: -5,5; -5.
Правильный ответ: -5,5; -5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 40 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(40² + 75²) = √7225 = 85.
Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 40·\(\frac{75}{2}\) = 1500.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 85·h/2.
Шаг 4. Приравниваем: 85·h/2 = 1500 ⟹ h = 40·\(\frac{75}{85}\) = 600/17.
Ответ: 600/17.
Правильный ответ: 600/17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы IA и JB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ IA ∥ JB.
Шаг 2. В треугольниках TIA и TJB (T — точка на IJ):
∠ATI = ∠BTJ (вертикальные), IA ∥ JB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TI/TJ = m:n.
Шаг 3. TI/TJ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как m:n. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
Тогда AD = 2R (диаметр).
Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).
∠DBC = ∠B − 90° = 124° − 90° = 34°.
Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 116° − 90° = 26°.
Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 34° (вписанные углы на одну дугу CD).
∠ADB = ∠ACB = 26° (вписанные углы на одну дугу AB).
∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 26° = 64°.
Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 64° − 34° = 30°.
Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).
AD = BC / sin(30°) = 6 / sin(30°) = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: