Загрузка заданий...

Вариант 131 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 14.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

Ответ: 56

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

Ответ: 40

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин, то есть 200,0 мин.

Ответ: 200,0.

Ответ: 200,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

Ответ: 1170

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{8}{25} - 0,06$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{8}{25} - 0,06$.

Последовательно выполняем действия (вычитание):

Шаг 1: $(\frac{8}{25}) - 0,06 = 0,26$.

Получили результат $0,26$.

Ответ: $0,26$.

Ответ: 0,26

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-34}{7}$

-0,96

$\frac{39}{11}$

$\sqrt{15}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -5 и -4.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-34}{7}$ ≈ -4,8571

2) -0,96 ≈ -0,96

3) $\frac{39}{11}$ ≈ 3,5455

4) $\sqrt{15}$ ≈ 3,873

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2^{2} \cdot (2^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 2^(2) · (2^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^3)^2 = 2^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^2 · 2^6 = 2^8.

Получаем 2^8 = 256.

Ответ: 256.

Ответ: 256

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x + 7y = 34 \\ -7x + 6y = -68 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

6x + 7y = 34

-7x + 6y = -68

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -7, а второе — на 6.

Получим:

$(6x + 7y = 34) \cdot -7$: -42x - 49y = -238

$(-7x + 6y = -68) \cdot 6$: -42x + 36y = -408

Вычтем второе уравнение из первого:

-85y = 170

y = 170 / -85 = -2

Подставим y = -2 в первое уравнение:

6x + 7y = 34

Получаем x = 8.

Ответ: (8;-2)

Ответ: 8;-2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события A.

Решение

Всего элементарных исходов: 6. Благоприятных для события A: 3.

$P=3/6=0,5$.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) y = -3x - 2

Б) y = -1x - 2

В) y = 1x - 4

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 343 Вт, а сила тока равна 7 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 343/(7²) = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 2x − 2,4 \geqslant -15,6 \\ x + 1 \leqslant 0,8 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-6,6;-0,2]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 19 мест, а в шестом ряду 21 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (21 - 19) / (6 - 4) = 1.

Тогда первый ряд: a₁ = a4 - (4 - 1)·d = 19 - 3·1 = 16.

Последний ряд: a19 = a₁ + (19 - 1)·d = 16 + 18·1 = 34.

Ответ: 34.

Ответ: 34

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 12, sin ∠ABC = 1/4. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:\nS = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.\nS = $\frac{1}{2}$ · 6 · 12 · $\frac{1}{4}$ = $\frac{72}{8}$ = 9.\nОтвет: 9.

Ответ: 9

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 8√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.\nR = 8√3 · √3 / 3 = $\frac{24}{3}$ = 8.\nОтвет: 8.

Ответ: 8

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение

Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.\nБольший отрезок равен 11 / 2 = 5,5.\nОтвет: 5,5.

Ответ: 5,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка BM?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.\nM делит AB: вектор AM=(2,25; 4,5)=$\frac{3}{4}$·AB=(3,6). AM=3·BM.\nОтвет: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Все хорды одной окружности равны между собой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: смежные углы могут быть оба по 90°.

2) Верно: площадь квадрата равна произведению двух смежных сторон.

3) Неверно: хорды одной окружности вообще говоря имеют разные длины.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-3x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+10$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сокращаем $\sqrt{3-x}$ из обеих частей.

Шаг 1. После сокращения:

$x^2-3x=10$.

Шаг 2. Решаем:

$x^2-3x-10=0\Rightarrow(x-5)(x+2)=0$.

Корни: $x=5$ и $x=-2$.

Шаг 3. ОДЗ: $3-x\ge0\Rightarrow x\le3$. Значит $x=5$ не подходит.

Ответ: $-2$.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 3 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 260 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 3) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 260/x мин, второй — 260/(x+3) мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 6 мин дольше:

260/x − 260/(x+3) = 6.

Шаг 4. Умножаем на x(x+3):

260·(x+3) − 260·x = 6·x·(x+3).

780 = 6·x² + 18·x.

6x² + 18x − 780 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·6·780 = 324 + 18720 = 19044, √D = 138.

x = (−18 + 138) / (2·6) = 10 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 260/10 = 26 мин, вторая — 260/13 = 20 мин.

26 − 20 = 6 = 6. ✓

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=x^2-8x-2|x-5|+15\]

Определите, при каких значениях m прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть |x−5| на промежутках x < 5 и x ≥ 5.

Шаг 1. При x ≥ 5: |x−5| = x−5, функция y = x²+-8x−2(x−5)+15 = x²+-10x++25.

Вершина при x = 5, значение y = 0.

Шаг 2. При x < 5: |x−5| = −(x−5), функция y = x²+-8x+2(x−5)+15 = x²+-6x++5.

Вершина: y = -4.

Шаг 3. В точке склейки x = 5 обе формулы дают одно значение. Граф состоит из двух парабол.

Прямая y = m имеет ровно три общие точки, когда проходит через вершину одной из ветвей.

Ответ: -4; 0.

Правильный ответ: -4; 0

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 10, CK = 16.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 10.

Шаг 3. BC = BK + CK = 10 + 16 = 26.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(10 + 26) = 72.

Ответ: 72.

Правильный ответ: 72

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что AN — биссектриса угла BAD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.

Шаг 1. CD = 2·AD (по условию), N — середина CD.

Значит CD/2 = AD/2 ... нет: CD = CD, CD/2 = AD.

Шаг 2. В параллелограмме AD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,

образованном AN и соседними сторонами, два угла при основании равны.

(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)

Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ AN — биссектриса угла BAD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 100 ⟹ a+b = 50.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·500/50 = 20.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=50 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=20:

a = 10, b = 40.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 20·$\frac{10}{50}$ = 4.

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2