Загрузка заданий...

Вариант 1338 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 16 клеток · 1 км = 16 км.

От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Складываем: 16 + 12 = 28 км.

Ответ: 28.

Ответ: 28

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 16 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.

Ответ: 20.

Ответ: 20

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 20 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 20 / 10 ч.

В минутах это 120 мин.

Ответ: 120.

Ответ: 120

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

Ответ: 1147

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{8} + \frac{3}{4} + 0,007$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{8} + \frac{3}{4} + 0,007$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{8}) + \frac{3}{4} = 0,875$.

Шаг 2: $(0,875) + 0,007 = 0,882$.

Получили результат $0,882$.

Ответ: $0,882$.

Ответ: 0,882

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{-23}{6}$, -2,8, $\frac{-4}{3}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-23}{6}$

-2,8

$\frac{-4}{3}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 0 и 1.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-23}{6}$ ≈ -3,8333

2) -2,8 ≈ -2,8

3) $\frac{-4}{3}$ ≈ -1,3333

4) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ≈ 0,866

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2^{2} \cdot (2^2)^3$$

Решение

Вычислим выражение: 2^(2) · (2^2)^3.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^2)^3 = 2^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^2 · 2^6 = 2^8.

Получаем 2^8 = 256.

Ответ: 256.

Ответ: 256

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{5}{x + 2} = 1$$

Решение

Решим уравнение: 5/(x + 2) = 1

Область допустимых значений: x != -2.

Умножим обе части уравнения на x + 2:

5 = 1(x + 2)

Раскроем скобки:

5 = 1x + 2

Перенесём число в левую часть:

3 = 1x

x = 3 / 1

x = 3

Проверка ОДЗ: x = 3, x != -2, условие выполняется.

Ответ: 3

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 12 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 100.

Благоприятных исходов: 88 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 88/100 = 0,88.

Ответ: 0,88.

Ответ: 0,88

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = -x^2 + 7x - 7$

Б) $y = -\dfrac{1}{5}x - 5$

В) $y = \dfrac{9}{x}$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 80 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = 80 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(80) + 32 = 176.

Ответ: 176.

Ответ: 176

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 36 > 0

x² - 36 < 0

x² - 36 ≥ 0

x² - 36 ≤ 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 360, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 15 см, а после 6-го уже меньше.

Ответ: 6.

Ответ: 6

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 125°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.

Поэтому он равен 180° - 125° = 55°.

Ответ: 55.

Ответ: 55

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.

Решение

Окружность касается обоих оснований трапеции.

Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.

h = 2r = 2 · 20 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 54, а две его стороны равны 9 и 18. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

Решение

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.

h₁ = 54 / 9 = 6, h₂ = 54 / 18 = 3.

Требуемая высота равна 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 10 и 6.

Большая диагональ равна 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.

3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-9)^2<\sqrt{2}(x-9)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-9)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-9)^2-\sqrt{2}(x-9)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-9)\bigl[(x-9)-\sqrt{2}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=9$ и $x=9+\sqrt{2}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(9;\; 9+\sqrt{2})$.

Правильный ответ: (9;9+√2)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую — со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/34 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/51 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/34 + S/51) = 2 / ($\frac{1}{34}$ + $\frac{1}{51}$).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·34·51 / (34 + 51) = 3468 / 85 = 40,8 км/ч.

Ответ: 40,8.

Правильный ответ: 40,8

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+4x+4,& x\ge -3,\\-\dfrac{3}{x},& x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[1;+∞).

Ответ: {0}∪[1;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[1;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 8, AC = 72.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 8 · 72 = 576.

Шаг 3. AB = √576 = 24.

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 13, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 12 + 4... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 5, AB = 12, CD = 13, BC = 4.

Шаг 3. AD = BC + AB = 4 + 12 = 16.

S = (BC + AD)/2 · h = (4 + 16)/2 · 5 = 78.

Ответ: 78.

Правильный ответ: 78

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.