Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
841
594
2
1189
841
3
297
210
4
594
420
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.
Ответ: 2143
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?
Решение
Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.
Ответ: 4
3Задание 31 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
Ответ: 840
4Задание 41 балл
Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.
Ответ: 0.7
5Задание 51 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.
Ответ: 21
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,003 : 0,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,003 : 0,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,003) : 0,5 = 0,006\).
Ответ: \(0,006\).
Ответ: 0,006
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} > 0\)
2
a + 3 < 0
3
a > -2
4
-3 - a < 0
Решение
По чертежу видно, что -3 < a < -2.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) a + 3 < 0 ⇔ a < -3 — неверно.
3) a > -2 ⇔ a > -2 — неверно.
4) -3 - a < 0 ⇔ a > -3 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)$$
Решение
Вычислим выражение: (√5 - 3)(√5 + 3).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√5)² - 3² = 5 - 9 = -4.
Ответ: -4.
Ответ: -4
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: 5 + 3(2x - 2) = 3x + 26
Решение
Решим уравнение: 5 + 3(2x - 2) = 3x + 26
Раскроем скобки:
5 + 3(2x - 2) = 3x + 26
5 + 6x - 6 = 3x + 26
Приведём подобные слагаемые в левой части:
6x - 1 = 3x + 26
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
3x = 27
Разделим обе части на 3:
x = 27 / 3
x = 9
Ответ: 9
Ответ: 9
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события B.
Решение
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события B: 3.
\(P=3/8=0,375\).
Ответ: 0,375
Ответ: 0,375
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = \dfrac{2}{x}\)
Б) \(y = -2x^2 + 4x\)
В) \(y = -x\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 30 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 5 880 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 5 880/(9,8·30) = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
6x - 6 < 8x + 5
1
(-∞;-5,5)
2
(-5,5;+∞)
3
(-∞;5,5)
4
(-∞;0)
Решение
Решим неравенство: 6x - 6 < 8x + 5.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x > 11.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -2: x > -5,5.
Значит, x больше -5,5.
Этому соответствует промежуток (-5,5;+∞).
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 16 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в пятнадцатом ряду амфитеатра?
Свежие фрукты содержат 87% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 22% воды, значит сухого вещества 78%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 49 кг сухих фруктов:
49 · 78/100 = 38,22 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 87% воды, значит сухого вещества 13%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,13·x = 38,22.
x = 38,22 / 0,13 = 294 кг.
Ответ: 294.
Правильный ответ: 294
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}2{,}5x-1,& x<2,\\-3{,}5x+11,& 2\le x\le 3,\\x-1,& x>3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: [0,5;2]∪{4}.
Ответ: [0,5;2]∪{4}.
Правильный ответ: [0,5;2]∪{4}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.
Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.
Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).
Шаг 2. По условию r = 18, диагональ = 72 = 4r.
Значит диагональ = 4·18, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы IA и JB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ IA ∥ JB.
Шаг 2. В треугольниках TIA и TJB (T — точка на IJ):
∠ATI = ∠BTJ (вертикальные), IA ∥ JB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TI/TJ = m:n.
Шаг 3. TI/TJ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как m:n. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 8 и 3. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 77° + 13° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 8 и 3.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 8 и (b-a)/2 = 3 (или наоборот).
