Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.
Исходящие вызовы
375 мин.
150 мин.
275 мин.
300 мин.
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 7325.
Ответ: 7325
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?
Решение
По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.
Ответ: 500
3Задание 31 балл
Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?
В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?
Решение
В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.
Ответ: 40
5Задание 51 балл
Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.
Тарифный план
Абонентская плата
Плата за трафик
«0»
Нет
1,5 руб. за 1 МБ
«300»
290 руб. за 300 МБ трафика в месяц
1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»
375 руб. за 700 МБ трафика в месяц
0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ
Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?
Решение
Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.
Ответ: 880
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{3} : \frac{1}{12}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{3} : \frac{1}{12}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Найдите корни уравнения:
x2 + 15x + 54 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 15x + 54 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 15, c = 54.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 15² - 4·1·54 = 9.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-15 - √9) / 2 = -9
x₂ = (-15 + √9) / 2 = -6
Ответ: -9;-6
Ответ: -9;-6
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(A \cup \overline{B}\).
Решение
Всего исходов: 32. Вероятность события \(A \cup \overline{B}\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=22/32=0,6875\).
Ответ: 0,6875
Ответ: 0,6875
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.
Ответ: 132
12Расчёты по формулам1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 141,75 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 141,75/(4,5²) = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 6)(x - 6) > 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -6 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -6 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 6)(x - 6) > 0 получаем решение (-∞;-6) ∪ (6;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 5 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 320, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 5 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 150°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Внешний угол при вершине C смежный с внутренним углом C.
Поэтому он равен 180° - 150° = 30°.
Ответ: 30.
Ответ: 30
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 42 = 84.
Ответ: 84.
Ответ: 84
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Периметр ромба равен 88, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Сторона ромба равна 88 / 4 = 22.
Площадь ромба равна a²·sin α.
S = 22² · sin 30° = 22² · \(\frac{1}{2}\) = 242.
Ответ: 242.
Ответ: 242
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 10 и 2.
Искомое отношение площадей равно (10 / 2)² = 25.
Ответ: 25.
Ответ: 25
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
2
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром окружности, описанной около треугольника.
3
Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите уравнение: \((x-1)^4-2(x-1)^2-3=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x-1)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2-2t-3=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+1)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-1\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\).
Шаг 4. Решаем \((x-1)^2=3\):
\(x-1=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=1\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(1-\sqrt{3};\quad 1+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: 1-√3;1+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 87% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 22% воды, значит сухого вещества 78%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 49 кг сухих фруктов:
49 · 78/100 = 38,22 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 87% воды, значит сухого вещества 13%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,13·x = 38,22.
x = 38,22 / 0,13 = 294 кг.
Ответ: 294.
Правильный ответ: 294
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-2x+1,& x\ge -2,\\-\dfrac{18}{x},& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).
Ответ: {0}∪[9;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 13.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол вписанный в диаметр = 90° — точки P и K лежат на окружности с диаметром BH.
Шаг 1. Так как BH — диаметр, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен 90°.
Значит ∠BPH = 90° и ∠BKH = 90°, то есть P и K — основания перпендикуляров из H.
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABC точка H — основание высоты из B.
Четырёхугольник BPHK — прямоугольник (у него все углы прямые).
Шаг 3. В прямоугольнике PK = BH (противоположные стороны).
PK = BH = 13.
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы IA и JB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ IA ∥ JB.
Шаг 2. В треугольниках TIA и TJB (T — точка на IJ):
∠ATI = ∠BTJ (вертикальные), IA ∥ JB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TI/TJ = m:n.
Шаг 3. TI/TJ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как m:n. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √11/6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 9 · 11 = 99.
AT = √99.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 2 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{11}{6}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
