Загрузка заданий...

Вариант 1370 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.

Мобильный интернет	2 ГБ	2,5 ГБ	4 ГБ	3,5 ГБ
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.

Ответ: 3142

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?

Решение

По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.

Ответ: 575

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?

Решение

По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.

Ответ: 2

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?

Решение

В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	430 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	120 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	180 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.

Ответ: 430

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} + 1 : 0,4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{5} + 1 : 0,4$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(1) : 0,4 = 2,5$.

Шаг 2: $(\frac{1}{5}) + 2,5 = 2,7$.

Получили результат $2,7$.

Ответ: $2,7$.

Ответ: 2,7

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел -2,177, $\frac{\sqrt{5}}{2}$, $\frac{10}{7}$, $\frac{10}{3}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,177

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\frac{10}{7}$

$\frac{10}{3}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -2,177 ≈ -2,177

2) $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ≈ 1,118

3) $\frac{10}{7}$ ≈ 1,4286

4) $\frac{10}{3}$ ≈ 3,3333

Точке A соответствует вариант 3.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{10} - 2)(\sqrt{10} + 2)$$

Решение

Вычислим выражение: (√10 - 2)(√10 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√10)² - 2² = 10 - 4 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -6x - 6y = -12 \\ -6x - 2y = 12 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-6x - 6y = -12

-6x - 2y = 12

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на -6.

Получим:

$(-6x - 6y = -12) \cdot -6$: 36x + 36y = 72

$(-6x - 2y = 12) \cdot -6$: 36x + 12y = -72

Вычтем второе уравнение из первого:

24y = 144

y = 144 / 24 = 6

Подставим y = 6 в первое уравнение:

-6x - 6y = -12

Получаем x = -4.

Ответ: (-4;6)

Ответ: -4;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 40 чашек: 24 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 16 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{16}{40}$ = 0,4.

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 15 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(15 − 5) = 260.

Ответ: 260.

Ответ: 260

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 8x < 0

x² - 8x > 0

x² - 64 < 0

x² - 64 > 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 630, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 6-го отскока высота ещё не меньше 15 см, а после 7-го уже меньше.

Ответ: 7.

Ответ: 7

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 7/6, BC = 18. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.

Значит, AC = BC · tg B = 18 · $\frac{7}{6}$ = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 8√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.

r = (8√3 · √3) / 6 = $\frac{24}{6}$ = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 67°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 19°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение

Угол A трапеции равен 180° - 67° = 113°.

Диагональ делит угол A на два: 19° и искомый.

Искомый угол равен 113° - 19° = 94°.

Ответ: 94.

Ответ: 94

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 6 и 6.

Большая диагональ равна 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: S = $\frac{1}{2}$ ab sin γ, а sin γ ≤ 1, значит S ≤ ab/2 < ab.

2) Неверно: средняя линия равна полусумме оснований.

3) Верно: по признаку подобия по двум углам.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $46a-14b+68$, если $\dfrac{3a-7b+9}{7a-3b+9}=7$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $46a-14b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $3a-7b+9 = 7(7a-3b+9)$.

Шаг 2. Раскрываем: $3a-7b+9 = 49a-21b+63$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 46a-14b+54$, откуда $46a-14b = -54$.

Шаг 4. Вычисляем: $46a-14b+68 = -54+68 = 14$.

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два велосипедиста одновременно отправляются в 140-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 14 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 5 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения.

Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 14) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 5 ч раньше:

140/x − 140/(x+14) = 5.

Шаг 3. Умножаем на x·(x+14):

140·14 = 5·x·(x+14).

Шаг 4. Квадратное уравнение: 5x² + 70x − 1960 = 0.

Шаг 5. D = 44100, √D = 210.

x = (−70 + 210) / (2·5) = 14 (скорость второго).

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+4)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+4,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-4; 4; 5 $.

Ответ: $ -4; 4; 5 $.

Правильный ответ: -4; 4; 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 140 и 147. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(140² + 147²) = √41209 = 203.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 140·147/2 = 10290.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 203·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 203·h/2 = 10290 ⟹ h = 140·147/203 = 2940/29.

Ответ: 2940/29.

Правильный ответ: 2940/29

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка E равноудалена от C и D

⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.

Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.

Следовательно, EF ⟂ CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 15. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 924.

Ответ: 924.

Правильный ответ: 924

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.