Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1Задание 11 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
Объекты
жилой дом
яблони
теплица
гараж
Цифры
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.
Получаем последовательность: 7352.
Ответ: 7352
2Задание 21 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Решение
На все дорожки нужно 25 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.
Ответ: 5.
Ответ: 5
3Задание 31 балл
Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.
Ответ: 36.
Ответ: 36
4Задание 41 балл
На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?
Решение
Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.
Ответ: 75.
Ответ: 75
5Задание 51 балл
Нагреватель (котёл)
Прочее оборудование и монтаж
Средн. расход газа / средн. мощность
Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление
25 000 руб.
17 552 руб.
1,3 куб. м/ч
5,2 руб./куб. м
Электр. отопление
21 000 руб.
15 000 руб.
5,2 кВт
4,1 руб./(кВт·ч)
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.
Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.
Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.
Ответ: 450.
Ответ: 450
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,7\).
Ответ: \(2,7\).
Ответ: 2,7
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
a > 4
2
a - 4 < 0
3
\(\frac{1}{a} < 0\)
4
a < 3
Решение
По чертежу видно, что 3 < a < 4.
Проверим варианты ответа:
1) a > 4 ⇔ a > 4 — неверно.
2) a - 4 < 0 ⇔ a < 4 — верно.
3) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
4) a < 3 ⇔ a < 3 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{2} - 4)(\sqrt{2} + 4)$$
Решение
Вычислим выражение: (√2 - 4)(√2 + 4).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√2)² - 4² = 2 - 16 = -14.
Ответ: -14.
Ответ: -14
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 36 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 36 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 0, c = -36.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 0² - 4·1·-36 = 144.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (0 - √144) / 2 = -6
x₂ = (0 + √144) / 2 = 6
Ответ: -6;6
Ответ: -6;6
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.75 и 0.25: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.8, по нижнему 0.65.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.75 · 0.8 = 0.6.
Нижний путь: 0.25 · 0.65 = 0.1625.
Складываем: 0.6 + 0.1625 = 0.7625.
Ответ: 0,7625
Ответ: 0,7625
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d1d2sinα / 2, где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d2, если d1 = 11, sinα = 0,417, а S = 34,375.
Решение
Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).
d₂ = 2·34,375/(11·0,417) = 15.
Ответ: 15.
Ответ: 15
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-2x + 9 ≥ -4x + 12
1
[1,5;+∞)
2
(-∞;1,5]
3
[-0,5;+∞)
4
(-∞;0]
Решение
Решим неравенство: -2x + 9 >= -4x + 12.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x >= 3.
Делим обе части на 2: x >= 1,5.
Значит, x больше или равно 1,5.
Этому соответствует промежуток [1,5;+∞).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 4 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 4, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 4·3^4 = 324 мг.
Ответ: 324.
Ответ: 324
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC известно, что AC = 14, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.
Решение
Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.
Поэтому AM = AC : 2 = 14 : 2 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
16Окружность, круг и их элементы1 балл
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.
Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.
Следовательно, ∠NMB = 54°.
Ответ: 54.
Ответ: 54
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
Каждая диагональ образует с выбранной стороной одинаковый по модулю угол.
Поэтому угол между диагоналями равен 2·51° или его дополнительному углу.
Острый угол равен 78°.
Ответ: 78.
Ответ: 78
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 8 и 6.
S = 8 · 6 / 2 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
2
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
3
Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно: не каждая биссектриса.
2) Верно.
3) Неверно: касательная перпендикулярна радиусу.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите уравнение: \((x+2)^4+(x+2)^2-12=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x+2)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+t-12=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+4)(t-3)=0\).
Корни: \(t_1=-4\), \(t_2=3\).
Шаг 3. Берём только \(t=3\) (так как \(t\ge0\)).
Шаг 4. Решаем \((x+2)^2=3\):
\(x+2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=-2\pm\sqrt{3}\).
Ответ: \(-2-\sqrt{3};\quad -2+\sqrt{3}\).
Правильный ответ: -2-√3;-2+√3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 18%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 35 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 18% воды, значит сухого вещества 82%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 35 кг сухих фруктов:
35 · 82/100 = 28,7 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,14·x = 28,7.
x = 28,7 / 0,14 = 205 кг.
Ответ: 205.
Правильный ответ: 205
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -3.
Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: -3.
Правильный ответ: -3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 8² + (AB/2)² = 8² + 6² = 100. R = 10.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 6 от центра:
(CD/2)² = R² − 6² = 100 − 36 = 64.
CD/2 = 8.
Шаг 3. CD = 2 · 8 = 16.
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
