Загрузка заданий...

Вариант 1392 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	баня	гараж	теплица
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, баня — 4, гараж — 2, теплица — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, баня, гараж, теплица.

Получаем последовательность: 7425.

Ответ: 7425

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.

В одной упаковке 10 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 10⌉ = 7 упаковок.

Ответ: 7.

Ответ: 7

3 Задание 3 1 балл

Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.

Решение

По плану у жилого дома длины сторон в сумме дают 18 клеточных отрезков. Одна сторона клетки равна 2 м, значит периметр равен 18 · 2 = 36 м.

Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.

Решение

Площадь строений: 60 + 48 + 24 + 36 = 168 кв. м. Площадь участка равна 576 кв. м. Тогда 168 / 576 · 100% ≈ 29,167%. После округления получаем 29%.

Ответ: 29.

Ответ: 29

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	20 000 руб.	15 370 руб.	1,6 куб. м/ч	4,9 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	14 000 руб.	4,9 кВт	4,2 руб./(кВт·ч)

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 35370 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 29000 руб.

Разница в начальных расходах: 35370 - 29000 = 6370 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,9 = 7,84 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,2 = 20,58 руб./ч.

Экономия за час: 20,58 - 7,84 = 12,74 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 6370 / 12,74 = 500.

Ответ: 500.

Ответ: 500

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$3,5 - 0,03 : 30$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $3,5 - 0,03 : 30$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,03) : 30 = 0,001$.

Шаг 2: $(3,5) - 0,001 = 3,499$.

Ответ: $3,499$.

Ответ: 3,499

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > 2

a - 3 > 0

$\frac{1}{a} < 0$

2 - a > 0

Решение

По чертежу видно, что 2 < a < 3.

Проверим варианты ответа:

1) a > 2 ⇔ a > 2 — верно.

2) a - 3 > 0 ⇔ a > 3 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) 2 - a > 0 ⇔ a < 2 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{20} + \sqrt{5})\sqrt{5}$$

Решение

Вычислим выражение: (√20 + √5)·√5.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √20 = 2√5, √5 = 1√5.

Тогда получаем (2√5 + 1√5)·√5 = 3√5·√5.

Так как √5·√5 = 5, имеем 3·5 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + x - 56 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + x - 56 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 1, c = -56.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4·1·-56 = 225.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-1 - √225) / 2 = -8

x₂ = (-1 + √225) / 2 = 7

Ответ: -8;7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 20 билетов, Сеня не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 20.

Благоприятных исходов: 13 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{13}{20}$ = 0,65.

Ответ: 0,65.

Ответ: 0,65

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = -x^2 + 5$

Б) $y = -\dfrac{12}{x}$

В) $y = -\dfrac{3}{4}x - 1$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 12, sinα = 0,583, а S = 14.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·14/(12·0,583) = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 49 > 0

x² - 49 < 0

x² - 49 ≥ 0

x² - 49 ≤ 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 480, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 10 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 12, sin ∠ABC = 1/4. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 6 · 12 · $\frac{1}{4}$ = $\frac{72}{8}$ = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.

Следовательно, ∠CBD = 83°.

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 92° - 83° = 9°.

Ответ: 9.

Ответ: 9

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

При угле 45° высота равна половине разности оснований.

h = (9 - 4) / 2 = 2,5.

S = (4 + 9) / 2 · 2,5 = 16,25.

Ответ: 16,25.

Ответ: 16,25

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 10 и 4.

Большая диагональ равна 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{3}{x-1}-10=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x-1}$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+3t-10=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+5)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-5$, $t_2=2$.

Шаг 3. Обратная замена $x=1+\frac{1}{t}$:

Если $t=-5$: $x-1=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow x=\dfrac{4}{5}$.

Если $t=2$: $x-1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne1$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{4}{5};\quad \dfrac{3}{2}$.

Правильный ответ: 4/5;3/2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).

Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 10) км/ч.

Шаг 2. Время в пути туда и обратно (с остановкой) одинаково:

60/x = 60/(x+10) + 3.

Шаг 3. Переносим 60/(x+10) влево:

60/x − 60/(x+10) = 3.

Шаг 4. Умножаем на x·(x+10): 3x² + 30x − 600 = 0.

Шаг 5. D = 8100, √D = 90. x = (−30+90)/(2·3) = 10.

Шаг 6. Скорость на обратном пути: 10 + 10 = 20 км/ч.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| - 2\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x - 2.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x - 2.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -2.

Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: -2.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 21, AC = 35, NC = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{21}{35}$ = $\frac{3}{5}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{3}{5}$, то есть BN = 3·BC/5.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 10.

Подставляем: BN = 3·(BN + 10)/5.

5·BN = 3·BN + 3·10.

(5−3)·BN = 30 ⟹ BN = 30/(5−3) = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.

Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.

BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.

S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).

Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△APD) (общую часть):

S(△APB) = S(△CPD). ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √39/8.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 16 · 39 = 624.

AT = √624.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 23 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{39}{8}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 12,8.

Ответ: 12,8.

Правильный ответ: 12,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.