Загрузка заданий...
Вариант 1401 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.
| Номер печи | Тип | Объём помещения (куб. м) | Масса (кг) | Стоимость (руб.) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | дровяная | 8—12 | 40 | 18 000 |
| 2 | дровяная | 10—16 | 48 | 19 500 |
| 3 | электрическая | 9—15,5 | 15 | 15 000 |
Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.
| Масса (кг) | 15 | 40 | 48 |
|---|---|---|---|
| Номер печи |
Решение
По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.
Ответ: 312
2
Задание 2
1 балл
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.
Решение
Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.
Ответ: 15.4
3
Задание 3
1 балл
На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?
Решение
Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.
Ответ: 2000
4
Задание 4
1 балл
На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?
Решение
Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.
Ответ: 16200
5
Задание 5
1 балл
Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение
Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.
Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.
По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.
Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.
Ответ: 65.
Ответ: 65
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{5}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}\).
Получили дробь \(\frac{3}{10}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,3\).
Ответ: \(0,3\).
Ответ: 0,3
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -1,22 до -0,08?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -1,22 и -0,08. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (-0,4) лежит между этими числами.
Ответ: 3
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}$$
Решение
Вычислим выражение: 2√2 · 2√5 · √10.
Перемножим коэффициенты: 2 · 2 = 4.
Подкоренные выражения дают: √2 · √5 · √10 = √(2·5·10) = √(100) = 10.
Тогда всё выражение равно 4 · 10 = 40.
Ответ: 40.
Ответ: 40
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 8x - 6y = -28 \\ x - 6y = 28 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
8x - 6y = -28
x - 6y = 28
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 1, а второе — на 8.
Получим:
\((8x - 6y = -28) \cdot 1\): 8x - 6y = -28
\((x - 6y = 28) \cdot 8\): 8x - 48y = 224
Вычтем второе уравнение из первого:
42y = -252
y = -252 / 42 = -6
Подставим y = -6 в первое уравнение:
8x - 6y = -28
Получаем x = -8.
Ответ: (-8;-6)
Ответ: -8;-6
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 47 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 153 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 153/200 = 0,765.
Ответ: 0,765.
Ответ: 0,765
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = x + 4\)
2) \(y = -2x - 2\)
3) \(y = x - 3\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 3 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 588 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 588/(9,8·3) = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
2x + 7 < -8x - 5
Решение
Решим неравенство: 2x + 7 < -8x - 5.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 10x < -12.
Делим обе части на 10: x < -1,2.
Значит, x меньше -1,2.
Этому соответствует промежуток (-∞;-1,2).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 7 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 7, q = 3.
За 150 минут пройдёт 5 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 7·3^5 = 1701 мг.
Ответ: 1701.
Ответ: 1701
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 46°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение
BH — высота, значит BH ⟂ AC.
Угол между AB и AC равен 46°.
Тогда угол между AB и BH равен 90° - 46° = 44°.
Ответ: 44.
Ответ: 44
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
R = 10√3 · √3 / 3 = \(\frac{30}{3}\) = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В ромбе ABCD угол ABC равен 102°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение
В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.
Следовательно, угол C равен 180° - 102° = 78°.
Диагональ AC биссектрисой угла C.
Поэтому ∠ACD = 78° / 2 = 39°.
Ответ: 39.
Ответ: 39
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 5 и 7, высота равна 4.
S = (5 + 7) / 2 · 4 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.
2) Неверно.
3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(x^2-2x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+8\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в обеих частях стоит одно и то же слагаемое \(\sqrt{3-x}\) — его можно сократить.
Шаг 1. Вычитаем \(\sqrt{3-x}\) из обеих частей:
\(x^2-2x=8\).
Шаг 2. Решаем квадратное уравнение:
\(x^2-2x-8=0\Rightarrow(x-4)(x+2)=0\).
Корни: \(x=4\) и \(x=-2\).
Шаг 3. Проверяем ОДЗ. Под корнем \(3-x\ge0\), значит \(x\le3\).
Значение \(x=4>3\) не подходит. Остаётся \(x=-2\).
Ответ: \(-2\).
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.
Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):
t₁ = 105/35 = 3 ч,
t₂ = 120/60 = 2 ч,
t₃ = 500/100 = 5 ч.
Шаг 2. Общее расстояние: 105 + 120 + 500 = 725 км.
Шаг 3. Общее время: 3 + 2 + 5 = 10 ч.
Шаг 4. Средняя скорость: 725 / 10 = 72,5 км/ч.
Ответ: 72,5.
Правильный ответ: 72,5
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=3-\dfrac{x+2}{x^2+2x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=3-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-2 \).
У функции \( y=3-\frac1x \) нет значений \( y=3 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=3,5 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=3; 3,5 \).
Ответ: 3; 3,5.
Правильный ответ: 3; 3,5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD = 51.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin60°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 51 · sin135°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin60° = 51 · sin135°.
AB = 51 · sin135°/sin60° (здесь sin135°/sin60° = √\(\frac{6}{3}\)).
AB = 17√6.
Ответ: 17√6.
Правильный ответ: 17√6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=25 и R=100.
O₁O₂ = r + R = 125 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(100·25) = 2√2500 = 100.
Ответ: 100.
Правильный ответ: 100
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.