Загрузка заданий...

Вариант 1431 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 7, кладовая — 2, спальня — 3, гостиная — 4.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 7234.

Ответ: 7234

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 60 см на 60 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

Решение

По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.

Нужно элементов: 36 / 0,36 = 100.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 20 упаковок.

Ответ: 20.

Ответ: 20

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь коридора. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.

Значит, площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь гостиной больше площади спальни?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 154 клетки, второе: 88 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((154 − 88) / 88) · 100% = 75%.

Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой вместимостью не менее 6 кг.

Решение

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель А: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.

Модель Е: 27 600 + 2 300 + доставка бесплатная = 29 900 руб.

Модель Ж: 27 585 + 1 900 + доставка: 10% от 27 585 = 2758,5 руб. = 32243,5 руб.

Наименьшая стоимость у модели А: 29 700 руб.

Ответ: 29 700.

Ответ: 29700

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{4}{1} - 0,9$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{4}{1} - 0,9$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{4}{1}) - 0,9 = 3,1$.

Получили результат $3,1$.

Ответ: $3,1$.

Ответ: 3,1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

-a < 8

a + 8 < 0

a + 7 > 0

Решение

По чертежу видно, что -8 < a < -7.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) -a < 8 ⇔ a > -8 — верно.

3) a + 8 < 0 ⇔ a < -8 — неверно.

4) a + 7 > 0 ⇔ a > -7 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√5 - 5)(√5 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√5)² - 5² = 5 - 25 = -20.

Ответ: -20.

Ответ: -20

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{6}{x - 1} = -1$$

Решение

Решим уравнение: 6/(x - 1) = -1

Область допустимых значений: x != 1.

Умножим обе части уравнения на x - 1:

6 = -1(x - 1)

Раскроем скобки:

6 = -1x + 1

Перенесём число в левую часть:

5 = -1x

x = 5 / -1

x = -5

Проверка ОДЗ: x = -5, x != 1, условие выполняется.

Ответ: -5

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 13 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 37 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{37}{50}$ = 0,74.

Ответ: 0,74.

Ответ: 0,74

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = 3x + 2$

Б) $y = \dfrac{1}{2}x + 3$

В) $y = \dfrac{1}{2}x + 4$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 6 колец.

Решение

Подставим n = 6 в формулу C = 6000 + 4100n.

C = 6000 + 4100·6 = 30600.

Ответ: 30 600.

Ответ: 30 600

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 2)(x - 9) > 0

Решение

Нули выражения: x = -2 и x = 9. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 9 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 9) > 0 получаем решение (-∞;-2) ∪ (9;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 21 мест, а в шестом ряду 23 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (23 - 21) / (6 - 4) = 1.

Тогда первый ряд: a₁ = a4 - (4 - 1)·d = 21 - 3·1 = 18.

Последний ряд: a18 = a₁ + (18 - 1)·d = 18 + 17·1 = 35.

Ответ: 35.

Ответ: 35

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 8 · 33 = 264/2 = 132.

Ответ: 132.

Ответ: 132

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 24. Найдите высоту этой трапеции.

Решение

Окружность касается обоих оснований трапеции.

Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.

h = 2r = 2 · 24 = 48.

Ответ: 48.

Ответ: 48

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 48, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

Решение

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.

h₁ = 48 / 8 = 6, h₂ = 48 / 16 = 3.

Требуемая высота равна 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 3 и 4.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.

2) Верно: свойство биссектрисы угла.

3) Неверно: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, не обязательно ромб.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-11)^2<\sqrt{5}(x-11)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-11)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-11)^2-\sqrt{5}(x-11)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-11)\bigl[(x-11)-\sqrt{5}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=11$ и $x=11+\sqrt{5}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(11;\; 11+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (11;11+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные — 26%. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 72% воды, значит сухого вещества 28%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 222 кг свежих фруктов:

222 · 28/100 = 62,16 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 26% воды, значит сухого вещества 74%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,74·x = 62,16.

x = 62,16 / 0,74 = 84 кг.

Ответ: 84.

Правильный ответ: 84

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{5x-8}{5x^2-8x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=8/5 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=8/5 $, откуда $ k=25/64 $.

Ответ: $\frac{25}{64}$.

Правильный ответ: 25/64

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 67° и 83°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.

Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 67° − 83° = 30°.

Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.

Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·12·($\frac{1}{2}$) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 2. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 50° + 40° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 14 и 2.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 14 и (b-a)/2 = 2 (или наоборот).

a+b = 28, b-a = 4.

b = 16, a = 12.

Ответ: 12; 16.

Правильный ответ: 12; 16

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.