Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.
Мобильный интернет
2 ГБ
2,5 ГБ
4 ГБ
3,5 ГБ
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.
Ответ: 3142
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.
Ответ: 575
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.
Ответ: 2
4Задание 41 балл
Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?
Решение
В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.
Ответ: 75
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
430 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
120 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
180 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.
Ответ: 430
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,3 + \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,3 + \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,3) + \frac{1}{5} = 0,5\).
Получили результат \(0,5\).
Ответ: \(0,5\).
Ответ: 0,5
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одно из чисел -3,26, \(\frac{-2}{3}\), \(\frac{\sqrt{12}}{2}\), \(\sqrt{21}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-3,26
2
\(\frac{-2}{3}\)
3
\(\frac{\sqrt{12}}{2}\)
4
\(\sqrt{21}\)
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -3,26 ≈ -3,26
2) \(\frac{-2}{3}\) ≈ -0,6667
3) \(\frac{\sqrt{12}}{2}\) ≈ 1,7321
4) \(\sqrt{21}\) ≈ 4,5826
Точке A соответствует вариант 4.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{5} \cdot \sqrt{35}$$
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе — на 2.
Получим:
\((2x - 8y = 36) \cdot 3\): 6x - 24y = 108
\((3x + 5y = -14) \cdot 2\): 6x + 10y = -28
Вычтем второе уравнение из первого:
-34y = 136
y = 136 / -34 = -4
Подставим y = -4 в первое уравнение:
2x - 8y = 36
Получаем x = 2.
Ответ: (2;-4)
Ответ: 2;-4
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 10 чашек: 1 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 10.
Благоприятных исходов: 9 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{9}{10}\) = 0,9.
Ответ: 0,9.
Ответ: 0,9
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1500 кг обладает кинетической энергией 147 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 147·1000 = 147 000 Дж.
v = √(2·147 000/1500) = 14.
Ответ: 14.
Ответ: 14
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 64 < 0
1
(-∞;-8] ∪ [8;+∞)
2
(-8;8)
3
[-8;8]
4
(-∞;-8) ∪ (8;+∞)
Решение
Решаем x² - 64 < 0. Нули: x = -8 и x = 8. Верное решение: (-8;8). Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 2,4 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 15 см = 0,15 м.
После 3-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 4-го прыжка уже меньше.
Ответ: 4.
Ответ: 4
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 53° и BM = AM = MC.
Решение
Из условия BM = AM = MC.
Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.
Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 53°.
Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·53° = 74°.
Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 74° = 106°.
В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.
Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 106° = 180°.
Отсюда x = 90° - 53° = 37°.
Ответ: 37.
Ответ: 37
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 9√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
Значит, a = 3R / √3 = 3 · 9√3 / √3 = 27.
Ответ: 27.
Ответ: 27
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Основания трапеции равны 4 и 13, а высота равна 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
m = (4 + 13) / 2 = 8,5.
Ответ: 8,5.
Ответ: 8,5
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 6.
Средняя линия равна 6 / 2 = 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
В параллелограмме есть два равных угла.
2
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3
Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 204 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 204 кг свежих фруктов:
204 · 14/100 = 28,56 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 28,56.
x = 28,56 / 0,84 = 34 кг.
Ответ: 34.
Правильный ответ: 34
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-8x+14,& x\ge 3,\\x-2,& x<3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-2}∪(-1;1).
Ответ: {-2}∪(-1;1).
Правильный ответ: {-2}∪(-1;1)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 1. Найдите высоту ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.
Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 1 = 13.
Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 13 и катетом DH = 12.
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
