Загрузка заданий...

Вариант 1478 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	санузел	кладовая	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: санузел — 7, кладовая — 1, спальня — 8, гостиная — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: санузел, кладовая, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 7185.

Ответ: 7185

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 30 см на 40 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

Решение

По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,3 · 0,4 = 0,12 кв. м.

Нужно элементов: 36 / 0,12 = 300.

В одной упаковке 12 штук, значит понадобится 25 упаковок.

Ответ: 25.

Ответ: 25

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кухни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 72 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.

Значит, площадь равна 72 · 0,25 = 18 кв. м.

Ответ: 18.

Ответ: 18

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади санузла?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 36 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 36) / 36) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

Ответ: 100

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «500»	600 руб. за 500 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «1000»	820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	900 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:

План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.

План «1000»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 900 руб.

Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.

Ответ: 820.

Ответ: 820

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,35 - 0,03 + 0,9$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,35 - 0,03 + 0,9$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,35) - 0,03 = 0,32$.

Шаг 2: $(0,32) + 0,9 = 1,22$.

Ответ: $1,22$.

Ответ: 1,22

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -0,75 и $\frac{14}{5}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$2\sqrt{3}$

-2,52

$-\frac{9}{4}$

2,5

Решение

Сравним числа -0,75 и $\frac{14}{5}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (2,5) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{11} - 4)(\sqrt{11} + 4)$$

Решение

Вычислим выражение: (√11 - 4)(√11 + 4).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√11)² - 4² = 11 - 16 = -5.

Ответ: -5.

Ответ: -5

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-4}{x - 9} = 2$$

Решение

Решим уравнение: -4/(x - 9) = 2

Область допустимых значений: x != 9.

Умножим обе части уравнения на x - 9:

-4 = 2(x - 9)

Раскроем скобки:

-4 = 2x - 18

Перенесём число в левую часть:

14 = 2x

x = 14 / 2

x = 7

Проверка ОДЗ: x = 7, x != 9, условие выполняется.

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 4 чёрных, 10 жёлтых и 11 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 10 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{10}{25}$ = 0,4.

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 3 920 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 3 920/(9,8·40) = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x − 0,5 \geqslant -1,2 \\ x + 0,2 \leqslant 5,2 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-0,7;5]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 2, n = 11.

Сначала найдём последний ряд: a11 = 17 + (11 - 1)·2 = 37.

Сумма первых 11 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 11·(17 + 37)/2 = 297.

Ответ: 297.

Ответ: 297

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 66° и BM = AM = MC.

Решение

Из условия BM = AM = MC.

Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.

Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 66°.

Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·66° = 48°.

Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 48° = 132°.

В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.

Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 132° = 180°.

Отсюда x = 90° - 66° = 24°.

Ответ: 24.

Ответ: 24

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.

r = (10√3 · √3) / 6 = $\frac{30}{6}$ = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 15, AB = 9. Найдите AC.

Решение

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, BD = 2·BO = 2·15 = 30.

Так как AC = BD, получаем:

AC = 30.

Ответ: 30.

Ответ: 30

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 8 и 6.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: S = $\frac{1}{2}$ ab sin γ, а sin γ ≤ 1, значит S ≤ ab/2 < ab.

2) Неверно: средняя линия равна полусумме оснований.

3) Верно: по признаку подобия по двум углам.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-3x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+28$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сокращаем $\sqrt{6-x}$ из обеих частей.

Шаг 1. После сокращения:

$x^2-3x=28$.

Шаг 2. Решаем:

$x^2-3x-28=0\Rightarrow(x-7)(x+4)=0$.

Корни: $x=7$ и $x=-4$.

Шаг 3. ОДЗ: $6-x\ge0\Rightarrow x\le6$. Значит $x=7$ не подходит.

Ответ: $-4$.

Правильный ответ: -4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два велосипедиста одновременно отправляются в 209-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 8 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения.

Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 8) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 8 ч раньше:

209/x − 209/(x+8) = 8.

Шаг 3. Умножаем на x·(x+8):

209·8 = 8·x·(x+8).

Шаг 4. Квадратное уравнение: 8x² + 64x − 1672 = 0.

Шаг 5. D = 57600, √D = 240.

x = (−64 + 240) / (2·8) = 11 (скорость второго).

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=3-\dfrac{x+2}{x^2+2x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=3-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-2 $.

У функции $ y=3-\frac1x $ нет значений $ y=3 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=3,5 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=3; 3,5 $.

Ответ: 3; 3,5.

Правильный ответ: 3; 3,5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 16 и CH = 4. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 16 + 4 = 20.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 20 и катетом DH = 16.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(20² − 16²) = √(144) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.

Шаг 1. AD = 2·CD (по условию), M — середина AD.

Значит AD/2 = CD/2 ... нет: AD = AD, AD/2 = CD.

Шаг 2. В параллелограмме CD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,

образованном CM и соседними сторонами, два угла при основании равны.

(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)

Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ CM — биссектриса угла BCD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 4 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 3, AB = 4, CD = 5, BC = 1.

Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 4 = 5.

S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 5)/2 · 3 = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.